단순조화 진동자(Simple Harmonic Oscillator) 1
이번 포스팅은 뉴턴 제2법칙을 활용한 단순조화진동자의 해석입니다. 이 방정식을 아주 유용하게 많이 사용이 되는만큼 잘 익혀두시면 운동 공부하는데에 많은 도움이 되리라 생각됩니다.
그럼 시작하겠습니다.
단순조화진동자는 이름이 조금 어려워서 그렇지 내용은 간단합니다. "어떤 힘이 평형한 지점에서 그렇지 않은 곳으로 움직인 어떤 물체가 복원력에 의해 그 평형한 위치로 운동하는 것이 반복되는 운동" 입니다....ㅡ.ㅡ 풀어 쓴다고 풀어쓴건데 더 복잡한 글이 되어버린것 같네요...
간단히 위의 그림처럼 시계추가 움직인다던지, 용수철을 늘려 놓았을때 다시 복원되려 한다던지 하는 운동입니다. 아래 그림처럼 외력이 없을때(마찰 등) 이 운동은 평생 감쇄없이 동일한 궤적을 그리며 운동을 하겠죠.
이런 운동을 해석하는것이 바로 단순조화진동자(SHO) 입니다.
이 운동을 설명하는데에는 여러가지 방법이 있습니다. 대표적인 방법이 바로 라그랑지언와 라그랑주 방정식으로 운동에너지, 위치에너지를 활용한 방법인데요, 여기서는 이것을 사용하지 않고 힘의 방정식으로만 해석해 보겠습니다. 라그랑지언이나 라그랑주 방정식은 나중에 포스팅할 기회가 있을것입니다.
여튼 SHO해석을 통해 아주 유명한 방정식이 유도되는데요. 일단 한번 시작해 봅시다.
먼저 아래와 같은 상황을 가정해봅시다.
역시나 라그랑주 방정식을 쓰기위해 에너지의 개념을 동원했네요~
저는 다르게 해석해 보겠습니다. 질량이 m인 물체를 용수철에 매달고 A지점까지 당깁니다. 그러면 용수철의 탄성(복원력)에 의해 -A지점까지 질량m인 물체가 왔다갔다 운동을 하겠지요? 이때 다른 외력 및 용수철의 에너지 발산은 없다고 가정합니다. 이때 A점까지의 거리를 x라고 하겠습니다.
그렇다면 다시 복원하려는 힘은 x가 커지는것과 비례하여 같이 커질것이고 이 힘은 용수철이 얼마나 강한 복원력(탄성)을 가졌느냐에 따라서 달라지는 양이 될것입니다. 그래서 이 복원력(힘)을 F라고 하고 뉴턴 법칙과 함께 써보면 다음과 같겠네요.
이때 X위에 점이 두개 찍혀있는 표시는 X를 두번 미분했다는 뜻입니다. X는 움직인 거리이기 때문에 거리를 두번 미분하면 가속도가 나오는것은 잘 아시죠? k는 용수철 상수입니다. 얼마나 복원력(탄성)이 있는지를 뜻하는 상수로서 스프링마다 다르겠지요?
아주 간단하게 나온 저 식이 바로 조화운동방정식의 기본 형태입니다. 물론 조금 더 변형을 해야합니다.
자 이제 완성되었습니다. 마지막 줄에 있는것이 바로 조화진동자의 기본 방정식입니다. 여기서 오메가라는 숫자가 등장하는데요. 이 오메가가 여러 조화진동 운동에 있어서 주기나 주파수등의 기본적인 성질을 나타내는 상수가 됩니다. 위의 용수철 운동에서는 용수철의 탄성 계수와 매달려있는 물체의 질량에 따라서 진동하는 속도가 결졍난다는 소리죠
자 이제 이 방정식을 풀어봅시다... ㅡ.ㅡ;;;
모양이 재미있습니다. 어떤 X라는 함수가요 자기자신을 시간에 대해 두번 미분했더니 자기자신에 마이너스 오메가 제곱을 붙여서 나왔네요.
두번미분하면 자기자신이 나오는 함수는 우리가 잘 알듯 삼각함수중에 사인, 코사인 함수입니다. 거기에 간단하게 합성함수의 미분법을 쓰면 정확한 답이 나오네요. 아래를 보시죠
그렇다면~!!! 과연 COS, SIN중에 어떤게 답일까요? 정답은 둘다입니다. 정확히는 '초기 상태에 의해 결정된다.'가 더 정확한 말이 되겠네요.
여튼 그렇기 때문에 위 방정식의 일반항은 다음과 같습니다. X라는것 자체가 시간에 대한 함수로 나타낼수 있기 때문에 아래와 같이 쓰면 되겠네요
이것이 바로 위 조화운동방정식의 일반해가 됩니다.
위 일반해를 스프링 운동에 적용해 볼까요??
초기조건을 생각해 보면 스프링이 당겨진 상태가 바로 시작점입니다. 따라서 시간은 0이지요. 따라서 X(t)는
일반해에서 바로 B가 최초로 움직인 거리 X와 동일한 값을 갖게 되는것이죠.
두번째 X(t)를 미분하면 속도가 되죠. 거기에 0을 넣어 봅시다.
당연히 초기 속도는 0일테니까 V(0)=0이죠?
따라서 최종 해는 다음과 같습니다.
이것을 그래프로 나타내면
정확히 코사인 곡선그립니다.
여기서 주기를 한번 살펴봅시다. 위 식에서 오메가가 이 주기를 결정하는 상수가 됩니다.
코사인 함수에서 주기는 기본적으론 360도, 2*파이입니다. 이것을 활용하여 오메가를 정의해봅시다.
T 만큼의 시간동안 한바퀴에 해당하는 각도를 갔다고 해서 오메가를 "각속도" 또는 "각주파수"(주기의 역수가 주파수거든요)라고 해당하는 진동자의 특징적인 상수가 됩니다. 앞서 말한것처럼 용수철의 운동인 경우 물체의 무게와 용수철의 탄성계수에 따른 값이 됩니다.
그럼 이런 지식을 바탕으로 다음엔 진동하는 진자에 대해서 포스팅해보겠습니다.
수정해야할 사항이나 첨언, 조언 환영합니다.^^
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