단순조화 진동자(Simple Harmonic Oscillator) 2

단순조화진동자 두번째입니다. 첫시간엔 용수철의 왕복운동으로 조화진동자의 운동방정식을 구해보았습니다.

2018/01/25 - [자연과학] - 단순조화 진동자(Simple Harmonic Oscillator) 1

 

이번시간엔 조금더 발전한 진자의 운동에 대해서 한번 계산해 보겠습니다.

위 사진은 푸코의 진자지요~ 여기서는 지구의 전향력은 고려하지 않는다는 점을 먼저 알려드립니다^^

 

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그럼 진자의 운동을 그림으로 먼저 살펴봅시다.

너무 감사하게도 사진에 이미 진자의 추에 작용하는 힘을 다 표시해 주셨네요.

이때 진자의 추에 작용하는 알짜힘(실제 작용하는 힘)은 중력과 장력이 서로 상쇄되어서 원래 있던 방향으로 가려는 mgsinθ 뿐입니다.

 

각각의 조건을 고려하여 생각해 보면 다음과 같습니다.

수식에 직접 글을 못쓰는데요...ㅡ.ㅡ;;; 혹시 방법을 아시는분이 계시면 좀 알려주세요 TT

 

식을 간단하게 설명드리자면 맨첫줄에 - 부호는 X를 줄이는 방향으로 움직이기때문입니다.

세번째 줄의 원호의 길이공식은 중학교 공식을 참고하시고~, 이때 진자의 길이 l은 상수이기 때문에 미분에 적용을 안받습니다. 그래서 θ만 미분하는것입니다.

마지막 줄에 sinθ가 그냥 θ가 된 이유는 사인값이 0에 가까워질수록 1차 선형함수와 비슷해지기때문에 근사시킨 것입니다.

 

여튼 이런 과정을 지나고 보니 우리가 아는 조화진동자 방정식이 나왔네요~^^

 

진자의 운동에서 가장 필요한 것은 과연 진자가 얼마만에 한번씩 움직이느냐가 제일 중요한 것이 되겠죠??

이때 저 ω가 사용됩니다. 지난 포스트에서 밝힌것 처럼 ω는 각속도를 의미하고 ωT=2π죠. 따라서 진자의 주기 T는 다음과 같습니다.

자 여기서 보듯 진자의 주기는 매달려 있는 추의 무게와는 아무런 상관이 없습니다. 오로지 중력가속도와 진자의 길이가 관여하는 값입니다.

따라서 저 위의 공식에서 g는 지구에서는 이미 정해진 값이기 때문에 오로지 진자의 길이만이 운동의 주기에 영향을 줍니다.

 

아마도 제 기억이 맞다면 저 내용을 중학교때쯤 배웠던것 같네요.

 

 

이 내용을 토대로 상식하나 알려드릴께요.

지금은 길이나 시간의 단위를 서서히 자연계의 물리량으로 정하는 추세입니다. 이를테면 1m의 단위는 빛이 진공속을 몇초동안 나아간 거리다. 이런식이죠.

하지만 예전에는 그러지 않았습니다. 원기라는것을 만들어서 이 길이가 1m다 라고 정의했었죠. 1kg도 마찬가지구요.

<한번쯤 봤을법한 1미터, 1kg원기>

 

하지만 이것들은 실물인지라 이것이 미세하게 변형이 되고 이것을 필요로 하는곳에서는 직접 사람이 움직여야하는 불편함이 있었죠. 그래서 이것들을 지금은 자연계의 물리량으로 나타내는 방향으로 변하고 있습니다.

 

이 얘기를 왜 하냐하면 예전에 1미터의 최초 정의가 "반주기가 1초인 진자의 길이"였습니다.

그럼 한번 위 공식에 적용을 해봅시다.

거의 1미터에 가까운 답이 나오는것을 볼 수 있습니다. 이때 T를 2라고 한것은 반주기가 1초이기 때문입니다.

 

이것으로 단순조화진동자 두번째 예시도 마치도록 하겠습니다.

 

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전문가의 조언 오류수정, 첨언 환영합니다^^

 

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