타코마다리 붕괴, 공진과 강제진동

이번엔 지난시간의 단순조화운동(보통 단진동이라고부릅니다) 포스팅의 연장선으로

우리가 잘아는 타코마 다리 붕괴에 대해서 알아보겠습니다.

이게 무슨 단진동 운동과 관련이 있느냐 반문하실수도 있지만 사실 그 단진동의 연장선임을 수학적으로 밝힐것입니다.

이전의 지식은 아래 포스트를 참조하세요.

2018/01/25 - [자연과학] - 단순조화 진동자(Simple Harmonic Oscillator) 1

2018/01/26 - [자연과학] - 단순조화 진동자(Simple Harmonic Oscillator) 2

워 일반적으로 한글로 설명하는것은 우리가 얼마든지 볼 수 있을테니 여기서는 수학적으로 한번 증명해 보겠습니다.

 

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우리는 이전의 포스트를 통해 단순조화진동자의 운동방정식을 유도해 보았습니다. 공식과 일반해는 다음과 같죠.

 

이 식에서 ω를 우리는 우리는 고유진동수 라고 부릅니다. 용수철의 단진동운동에서는 이 고유진동수가 용수철의 탄성계수와 매달린 물체의 질량으로 나타내어지는 수였죠. 만약 진동을 하는 대상이 있으면 그 대상에는 원래상태로 돌아오려는 기본적인 힘이 있고 그 힘으로 인해 고유한 진동수로 진동하며 원래대로 돌아오는 모습을 취합니다. 실제로도 용수철은 다음 그림과 같이 진동이 서서히 줄어들고, 이것을 우리는 '감쇠진동'이라고 부르죠.

사실 대부분의 진동운동은 이와 같은 감쇠운동을 합니다. 생각해보면 우리가 흔히 보는 미닫이문이나 낚싯대의 모습을 봐도 그렇지 않나요?

이런 감쇠진동도 저감쇠, 임계감쇠, 과감쇠 이렇게 나누어지기도 하는데요. 이건 패스합니다.

 

자 강제진동이라는것은 이렇게 진동운동을 하는 계에 강제적으로 어떤 힘을 가해서 그 진동을 커지게 또는 작아지게 만드는 '외력'을 가하는것을 강제진동이라고 합니다.

 

그럼 다시 수학을 해봅시다^^

 

이전의 단진동에서는 외력을 생각하지 않았기 때문에 아래와 같은 방정식이 등장했던것을 기억하실껍니다.

 

하지만 이젠 여기에 외력을 추가해 줘야합니다. 외력을 시간에 대한 진동함수라고 가정한다면 외력은 다음과 같이  쓸 수 있겠네요.

 

따라서 위 식은 아래와 같이 변형됩니다.

 

이제 X를 구해야 하는데요... 사실 이것은 미분방정식의 영역입니다. 앞에서도 간단하게 직관적인 방법으로 미분방정식을 풀었는데요..ㅡ.ㅡ

이것은 직관적으로 풀 수가 없어요~ 하지만 여기서 e를 이용한 방법을 모두 설명할 수는 없기때문에 여기서는 일단 그냥 답을 제가 적도록 하겠습니다.

 

위 식의 가능한 여러 해중에 하나는 X=C cosωt 입니다.

해를 위 식에 대입해서 정리해 볼께요

 

자 다 나왔습니다. 여기서 ωo는 어떤 진동하는 물체의 고유진동수이고 그냥 ω는 외력의 진동수(보통 구동진동수, 강제진동수라고 부릅니다)입니다.

 

X는 아시다시피 변한 위치를 말합니다. 그 변한 위치가 코사인 함수를 따라 진동하면서 변한다는것을 의미하지요. 여기에서 C는 진폭을 의미합니다. 진폭이 커진다는 소리는 크게 움직인다는 소리죠. 진폭이 작다는것은 작게 움직인다는 소리구요. Fo와 m은 상수이기 때문에 진동자의 진동폭은 결국 본인의 고유진동수와 구동진동수에 의해 결정된다는것을 수학적으로 알 수 있습니다!!!

 

만약 구동진동수(ω)가 고유진동수(ωo)보다매우 작다면 변위 X는 외력과 같은 방향으로 진동을 하겠죠. 그런데 구동진동수가 고유진동수보다 더 크면 진폭은 음수가 되어 외력의 방향과 반대로 진동할 것입니다.

이건 그렇다치고 이제 문제는 고유진동수와 구동진동수가 같은경우 문제가 생기겠네요... 진폭이 무한대로 커져 버립니다~!!!

바로 이것이 타코마 다리를 붕괴시킨 원인입니다. 어떤 원인인지는 모르겠습니다만, 순간적 또는 일정시간동안 타코마 다리의 고유진동수와 동일한 외력이 작용하다보니 이 진폭이 무한대가 되어버려서 다리가 그만 무너지고 말았죠.

 

이렇게 고유진동수와 동일한 구동진동수를 공진 주파수라고 하고, 우리가 흔히 공진이라고 하는단어는 이렇게 외력의 구동진동수가 고유진동수와 같은 외력이 작용하고 있는 상태를 말합니다.

 

타코마 다리와 얼마전 있었다던 테크노마트의 공진에 대한 설명 기사를 링크합니다.

http://dl.dongascience.com/magazine/view/S201109N009

 

사실 전 물리를 전공한 사람이 아니고 그저 취미로 공부하는 사람입니다. 제가 이런 얘기를 하는 이유는 지금부터 쓰는글은 제가 검증을 받지는 않는 이야기라서 조심스레 먼저 약을 치고 갑니다.

 

앞서서 감쇠진동을 이야기 했구요, 이후에 강제진동을 얘기했습니다. 제가 본 일반물리학 책에서는 이 감쇠진동과 강제진동을 분리해서 가르치는데요. 가만히 생각해보면 이게 개념적으로 다른 얘기가 아닙니다. 다만 감쇠진동은 그 힘이 주기성을 갖지 않은 것을 의미하고 강제진동은 그 힘이 주기성을 갖는것을 의미하는것 같거든요.

 

결국 큰 틀에서 감쇠진동이나 강제진동이나 똑같이 "외력"이 작용하는 운동인데 이 외력이 어떤 방식으로 작용하는냐를 구분해 놓은것으로 볼 수 있습니다.(라고 생각합니다^^)

 

이렇게 진동 운동에 대한 포스팅을 마치겠습니다^^

 

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전문가의 오류수정, 조언, 첨언 감사히 받겠습니다.

 

이 글은 제 네이버 포스트(poat.naver.com/acekimsm)에서도 보실 수 있습니다.