로켓 방정식 (feat. 운동량 보존법칙)

 

이번 포스트는 운동량 보존의 법칙을 활용한 로켓방정식을 유도해 보겠습니다.

사실 단순조화진동자를 포스팅하려고 했는데, 아무래도 당구공의 운동량보존법칙만으로는 다소 모자란 감이 있어보여서

로켓 방정식을 유도해 보려고 합니다.

 

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로켓 방정식은 러시아의 과학자 콘스탄틴 치올콥스키가 고안해낸 방정식인데요 치올콥스키는 인류우주비행의 아버지라는 별명을 얻기도 했지요. 그래서 로켓방정식을 치올콥스키의 식이라고 부르기도 한답니다. 실제 치올콥스키의 이론들은 구소련보다는 독일의 과학자들에 의해 실제 계산값이 나오면서 로켓의 발달을 촉발시키게 되고, 세계대전 중 독일의 V1, V2 로켓 발전의 원흉(?)이 된것은 역사의 아이러니 입니다.

 

로켓방정식은 무중력상태에서의 로켓의 추진체연소와 로켓의 속도에 대한 관계를 나타낸 방정식입니다.

기본적으로 로켓 방정식은 뉴턴의 제2법칙과 운동량 보존법칙의 변형인데요. 지난시간의 지식을 소환합니다.

이것이 뉴턴의 제2법칙이지요. 이때 만약 외력이 없다면 그 운동량이 보존된다는 것이 운동량 보존이고, "일반적인 경우" 1법칙인 관성의 법칙입니다.

 

 

그리고 이것은 운동량 보존의 법칙이구요.

 

그림을 한번 볼께요

로켓이란것을 생각해 봅시다. 로켓은 외력이 작용하지는 않는 운동이에요(중력장이 아니라면) 자기자신의 추진력으로 힘을 얻는 운동이죠. 그럼 일단 운동량보존은 이루어 져야 합니다. 운동량은 보존되어야 하는데 속도는 변한다 그럼 뭔가 이전의 것들관 다른게 있어야 겠죠. 그게 바로 로켓내부에 있던 연료량이 감소하는것입니다. 수학적으로 표현하면 다음과 같습니다.

일반적인 경우엔 질량의 변화가 생기지 않습니다. 하지만 이 경우엔 질량의 감소가 있기때문에 이것을 동시에 고려해 주어야 합니다.

 

위의 그림에서 보면 로켓의 최초 질량을 M, 최초 속도를 Vo라고 합시다.

 

이후의 속도의 증가량을 dv, 연료의 감소량을 dm, 그 연료의 분사속도를 u라고 하고 전후의 운동량을 수식으로 나타내 봅시다.

이제 결과를 계산해보면 방정식이 나올텐데요~^^

 

여기서 u는 제3의 입장에서본 물리량입니다. 따라서 이것을 계산의 편의를 위해 로켓에서 분사되는 속도로 바꾸어서 계산해봅시다.

정확히 표현하자면 '배기물에서 바라본 로켓의 상대속도'라고 표현되지만 간단히 생각하자면 로켓 본체에서 어느정도의 속도로 연료가 분사되는가를 나타내는것입니다. 그것을 Vrel이라고 한다면 방향성을 고려했을때 초기속도가 어떻든지간에 다음과 같습니다.

 

이 결과를 위 운동량 보존방정식에 넣고 전개해봅시다. (이건 직접 해보세요^^)

이게 일단 로켓 방정식의 기본식입니다.

 

이걸 미분하고 적분하면 로켓의 1, 2방정식이 나옵니다.

 

우선 시간에 대해 미분해 봅시다.

뉴턴의 제2 방정식과 유사한 모양이 되었지요? 이것의 의미는 "연료의 분사속도"와 "시간에 따른 연료의 감소"가 로켓에 가속도를 주는 힘으로 작용한다는 의미이며 이것이 로켓의 제1방정식입니다.

 

이젠 적분해야죠.

어렵게 왔습니다. 여기서 로그는 자연로그인데요. 물리에서는 자연로그를 그냥 log라고 쓰는 경향이 많습니다. 수학에서는 ln으로 많이 쓰고 그냥 log는 밑이 10인 상용로그인 경우가 많은데요. 혹시나 이 글을 보는 학생들은 혼동치 마세요~^^

그리고 적분할때 아래끝과 위끝은 각각 초기 무게와 나중의 무게입니다.

 

마지막 공식이 바로 로켓의 2방정식입니다. 최종적인 속도는 연료의 분사속도가 빠르거나, 연료의 소비량이 많거나, 로켓의 무게가 작거나 하면 그 로켓의 속도는 빨라진다는 소리죠^^

 

수학을 하고 물리를 하다보면 수식을 한글(나의 언어로)로 한글(어떤현상을)을 수식으로 만드는게 정말 중요하다는것을 알게 됩니다. 이걸 잘하는 사람들이 수학과 물리를 잘합니다. 꾸준한 훈련이 필요하죠~

 

이것으로 로켓 방정식을 마무리 하겠습니다.

 

다음은 꼭 단순조화진동자를 포스팅 해보겠습니다.

 

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개인적 관심으로 공부하는 사람입니다. 조언이나 수정 첨언 언제든 환영합니다.^^

 

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