원자의 구조 3<오비탈>

오비탈은 비교적 현대과학의 영역에 속하다보니 고전 화학에 대한 기본적인 이해가 있으면 편리합니다.
그래서 이걸 설명하기 전에 그냥 원자의 구조와 주기뮬표를 먼저 설명했습니다.

2018/01/05 - [자연과학] - 원자의 구조 1<원자모델의 발전>

2018/01/09 - [자연과학] - 원자의 구조 2<주기율표>

사실 위의 두 포스트는 이번 포스트를 위한 사전작업이였습니다.^^
고등학교 화학과목에서 원자에 대한 수업을 하다보면 말미에 오비탈이란 개념을 배우게 됩니다. 사실 이건 양자역학이 개념에서 접근하는게 맞다고 생각되는데요~ 고등학교 과정에서는 사실 이것을 그렇게 자세히 가르쳐 주지는 않죠~ 그래서 그냥 개념정도 정리하는 마음으로 정리해봅니다.
(사실 깊이는 알지도 못합니다.)

이 글은 2015년에 제 블로그에 썼던 내용을 재작성하였음을 알려드립니다.

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오비탈(orbital)은 간단하게 설명하자면 원자내에서 전자가 존재할 확률 또는 어떤공간을 차지하는가를 나타내는 일종의 함수입니다.

이전의 포스트에서 1913년 보어의 원자모형을 설명하였죠.
다시한번 간단하게 살펴보자면 보어는 원자 내에 전자기파를 방출하지 않고 전자가 회전할 수 있는 안정한 궤도가 존재하고 있음을 주장하였고, 원자의 세계에서는 고전 전자기학이론이 적용되지 않는다 주장하였습니다.이를 통해 그는 기존의 전자기파가 발생해야만 하는 러더퍼드 원자모형의 모순점을 해결하고 수소 원자의 선 스펙트럼에서 발머식을 이론적으로 유도해내기도 하죠. 그는 원자핵 주위의 전자가 무질서하게 원자핵 주위를 돌아다니는 것이 아니라 특정한 에너지를 가진 몇 개의 원 모양 궤도를 따라 빠르게 돌고 있다고 주장하며 이 궤도를 '전자껍질'이라 불렀습니다. (원자핵에서 가까운 것부터 K전자껍질(n=1),L 전자껍질(n=2),M전자껍질(n=3)..이라 부른다.) 이러한 전자껍질의 에너지는 주양자수인 n이 커질수록 증가합니다. 1900년 초반까지만 해도 이 보어의 원자모형은 가장 타당한 원자모형으로 평가되었습니다. 보어의 원자모형은 수소 원자의 방출 스펙트럼의 수치들을 잘 설명해주었지만 전자가 2개 이상인 원자에 있어서는 적용하기가 어려웠다는 점, 전자가 일정한 궤도에서 운동한다는 증거가 부족한점, 화학 결합에 대해 정량적으로 설명하는 것이 불가능하다는 문제점을 여전히 갖고 있었습니다.

 

이러한 보어의 원자모형을 발전시킨것이 바로 현재의 오비탈 모형이 되겠습니다.
기본적으로 양자역학의 아주 간단한 점을 이해하고 넘어아야 하는데, 사실 양자역학은 미시세계를 지배하는 물리법칙으로서 우리의 인지 능력으로는 아직 이해가 어렵습니다. 일단은 '그냥 그런가보다' 하고 넘어가는 지혜가 일부 필요하죠^^
일단 불확정성의 원리를 알고 넘어가야합니다. 불확정성의 원리란 어떤 물체의 정확한 위치와 속도를 동시에 알 수 없다는 얘기입니다. 이게 뭔소리냐 싶겠지만 우리가 보는 세상은 원자단위에서 보면 너무나도 큰 거시세계이다보니 실제로 운동량과 위치를 정확하게 알수 있지만(하지만 매우 작은 오차는 분명히 존재한다.) 원자단위의 미시세계에서는 입자(전자)의 위치와 움직임을 절대로 동시에 알 수가 없다는것입니다. 그렇죠 우리는 전자의 위치를 알수 없습니다. 다만 확률적으로 '어디쯤에 있을 확률이 제일높다'는것만 알수 있습니다. 이런 확률분포를 시각화해서 나타낸것이 바로 오비탈입니다.
이는 모든 물체가 파동성과 입자성을 동시에 갖는다는 양자역학의 기본 원리덕분에 알려졌고 이런 양자역학 확률방정식을 통해 전자의 위치를 확률적으로 표시 할수 있게 되었습니다.
이로서 현대의 원자모형, 바로 전자는 입자와 파동성을 가지고 있어 확률적으로만 전자의 위치를 알 수 있는 오비탈 모형입니다.

 

그럼 본격적으로 오비탈에 관련된 이야기를 시작해보자면.... (사실 위에 했던 얘기가 거의 다긴하지만...)
물리학자 드브로이는 원자에 속한 전자가 입자와 파동의 성질을 동시에 가진 물질파라고 주장하였고, 슈뢰딩거역시 드브로이와 마찬가지로 전자가 움직일때 핵을 중심으로 파동의 모양을 하며 움직인다 생각하였습니다.

 

 

이러한 연구결과 슈뢰딩거와 드브로이는 전자가 핵을 중심으로 정류파와 유사하게 행동하는 것을 알게 되었고 그들은 이러한 원자의 구조에 대해 양자역학적(파동)으로 기술합니다. 이에 대해 실험해본 결과, 전자는 파장의 정수배에 해당하는 에너지만을 가지고 있으며, 수소원자가 양자화상태임을 보여주었고 슈뢰딩거는 이를 바탕으로 전자가 정상파처럼 행동한다고 확신하여 양자화된 수소원자를 설명하는 모형을 고안합니다.
이것에 대해 슈뢰딩거는 수소를 포함한 다른 원자들의 실험 결과가 자신이 주장한 원자모형을 가지고 수학적으로 계산 가능함을 증명합니다. 그리고 하이젠베르크의 불확정성 원리에 의해 전자의 위치,운동 등의 상세한 경로를 동시에 알 수 없다는 결론에 도달합니다. 즉 우리는 '공간상에서 전자가 존재할 확률만을 알 수 있는 것이며 이 전자 존재 확률을 오비탈이라 한다.'(앞서 얘기한것과 똑같다... 젠장...)

그러면 간단하게 파동함수에 대해 알아보죠. 원래는 미분방정식을 기본으로 여러가지 수학적 지식이 필요하지만 내 능력밖의 일이니 여기선 그냥 말로 풀어나가봅시다.

토머스영의 실험에 의해서 빛은 파동임을 증명하였죠. 그런데 동일한 실험에서 전자의 경우도 빛처럼 회절무늬를 나타냅니다.

 

이런 회절무늬에서 아무래도 가운데로 가면갈수록 많은 전자가 나타날것이고(빛의 경우 가장 밝읅것이고) 주위로 갈수록 희미해지겠죠? 물리학자들은 이것을 확률의 개념으로 바라본것이고 이 확률을 수학적으로 계산해낸 것입니다.

입자는 위치를 시간에 대한 함수로 나타내어 그 운동을 표현할 수 있고(우리가 흔히 속도라고하는 물리량량), 파동은 주기적으로 변하는 물리량을 시간과 공간에 대한 함수로 나타내서 그 운동을 표현할 수 있습니다. 물질파에서 주기적으로 변하는 양을 우리는 Ψ라 하고 이를 파동함수라고 합니다. 보른은 lΨl^2을 입자가 발견된 확률로 해석하였으며, 이값을 체적적분한 값을 확률밀도함수라 불렀고 이것을 수학적으로 세련되게 표시하면 다음과 같습니다.

(사실 이 식은 뒤에 등장하는 수소원자의 전자발견확률입니다.)

여기서 P(r)은 원자핵으로부터의 거리 r에서부터 미소거리 dr만큼 떨어진 r+dr사이에서 전자를 발견할 실제 확률을 의미하고 이 값에 따라서 오비탈 모양이 만들어 지는것입니다.
물론 Ψ로 표시된 파동함수는 지금은 슈뢰딩거 방정식으로 알려진 다소 복잡한 미분방정식의 꼴로 나타나는데 여기서는 생략합니다.  

그럼 여기까지 내용으로 가장 간단한 수소원자에서 전자 위치의 확률을 한번 알아보면.
앞서 파동함수 Ψ는 입자가 발견될 확률과 관련되어 있으며, 입자의 확률 밀도 함수는 lΨl^2이라고 하였죠. 그래서 부피 요소 dV 내에서 입자가 발견될 확률은 위의 공식과 같습니다. 수소원자에서 자기장이 걸린 방향을 중심으로 특정한 방위각 Φ에서 전자가 발견될 확률은 동일하구요. 따라서 핵으로부터의 거리 r와 r+dr 사이인 구 껍질에서 전자를 발견할 실제 확률 P(r)은 위의 식에서 뒷부분에 해당하겠죠.

여기서 R(r)은 수소 원자의 파동함수에서 r의 함수입니다. 수소 원자에서 n=1인 상태일 때 확률 밀도 함수는 구 대칭형태로 생겼고, 전자가 원자핵으로부터 약 0.5A(옹스트롬 : 10^(-10)m) 에서 발견될 확률이 가장 높다는 결론에 다다릅니다.

이것을 다른 원자에게도 확장하면

이런 그림이 나오게 되는데 이게 주양자수(전자껍질)에 따른 s오비탈의 확률밀도 함수모양이 되죠.
(s,p,d등의 오비탈은 이전의 포스트를 참조해 주세요)
 p오비탈의 모양은 다음과 같습니다.

d오비탈은 아래와 같습니다.

이렇게 점점 복잡해집니다. 그래서 여기까지만 하겠습니다.^^

그런데 그림을 보면 각각의 오비탈이 어떤 방향성을 갖는것 처럼 보입니다.

실제로 양자역학적으로 볼때 전자는 4개의  양자수 값을 갖습니다. 이게 주양자수, 방위양자수, 자기양자수, 스핀양자수 이렇게 4개의 양자수 값을 갖는데 여기서 얘기하는 전자껍질이 주양자수에 해당하고 그 안에 있는 s, p, d, ... 오비탈이 바로 방위양자수 값을 의미한다고 보시면 되겠습니다.

사실 시험을 보는 학생의 입장에서 중요한것은 전자가 어떻게 채워지는가와 개략적인 오비탈 모양이 어떤가가 중요합니다. 이전의 포스트와 이 포스트를 함께 보시면 어느정도 기본적인 지식은 갖출수 있을꺼라고 생각합니다. 

어찌어찌 끝내기는 했는데 제대로 설명을 했는지 모르겠습니다. 최대한 아는범위에서 설명했으나 아무래도 웹이라는 한계, 제 지식의 한계가 있습니다.

여튼 이것으로 원자의 구조 포스트를 마칩니다.

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전공자가 아닌 일반 과학 덕후의 글입니다. 오류나 오타 첨언 언제든 환영합니다.

이 글은 제 네이버 포스트에서도 보실수 있습니다.
(post.naver.com/acekimsm)