등가속도 운동의 수학적 원리와 활용(3)

 

등가속도 운동의 마지막 2차원에서의 투사체 운동입니다.

1, 2강에서 등가속도 운동의 해석 1차원 운동에 대해서 다뤘다면 이젠 2차원에서 운동을 배워보겠습니다.

2017/12/26 - [물리] - 등가속도 운동의 수학적 원리와 활용(1)

2017/12/27 - [물리] - 등가속도 운동의 수학적 원리와 활용(2)

 

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지난 강의에서 1차원 직선운동의 해석에 대해서 알아봤습니다.

 

이제는 그 차원을 2차원으로 확장해서 해석해봅시다. 차원이 들어난다는것은 이젠 하나만 생각해서는 안되고 두가지를 같이 생각해야한다는 말입니다. 간단하게 복잡해진다는 소리죠 ㅡ.ㅡ;;;

 

일단 투사체 가 무언지 알아봅시다.

저 위에 있는 그림처럼 수직방향으로 쏜게 아니라 지면과 90도 이하의 각도를 줘서 던져, 물체를 멀리 보내려고 하는 목적의 행위을 투사체 운동이라합니다.

 

그럼 일단 밑에 그림을 봅시다.

위와같이 속도 Vo, 각도는 세타로 쏘아올려진 물체가 과연 얼마나 날아갈것이냐를 생각해보자는 것입니다.

이때에 공기의 저항은 일단 고려하지 않는것으로 생각해야하고, 지구의 곡면역시 일단은 무시합니다.

 

지난 강의와는 달리 이 모습은 2차원적으로 해석해야합니다. 차원에 대한것은 제 수학 포스트를 참조해주세요

2017/12/30 - [수학] - 숫자 체계, 차원 (1)

2018/01/02 - [수학] - 숫자 체계, 차원(2)

 

2차원 운동이니까 2가지 방향 운동을 함께 고려해 주어야 합니다. 그럼 두개의 성분을 어떻게 나누어야 할까요?

일단 중력(-g)이 작용하는 방향이 나와야겠군요~ 이것을 y성분이라고 합시다.

나머지 하나는 중력과 전혀 무관한 수평성분이면 편할것 같습니다. 이것을 X성분이라고 합시다.

 

그리고나서 이런 X, Y 각각의 성분에 대한 속도 가속도, 위치 공식을 적용해 봅시다.

이미 우리는 등가속도 운동에 대한 아래의 공식을 알고 있으니 여기에 넣으면 되겠네요.

이때 초기속도는 각각의 성분으로 나누어 줘야하기 때문에 위 그림과 같이

        라고 표시 할수 있습니다.

 

먼저 가속도 성분이 없는 X성분부터 생각해 봅시다. X성분의 가증 큰 특징은 가속도가 0이라는 것입니다. 이를 이용해 위 공식을 정리하면

 이렇게 정리가 되겠군요~

이때 쏘아올려지는 지점을 0으로 봤기때문에 초기거리는 0이 되는것이고 거리 S는 좌표평면상에 X축이기 때문에 X로 쓴 것입니다.

 

이제 문제는 Y축이네요. 가속도가 정확히 아래 방향으로 중력가속도 g 만큼 작용하고 있고, 아래방향이니 부호는 -가 됩니다.

이렇게 정리가 됩니다.

 

이제부터는 수학을 해야 합니다.

우리는 처음에 그래프로부터 시작을 했습니다. 사실 수학적으로 봐서 그래프이지 위 그림의 빨간점선은 실제로 그 투사체가 날아가는 궤적과 정확히 일치합니다.

하지만 우리가 내어놓은 공식은 X, Y 이외에도 t라는 시간변수가 존재합니다. 따라서 이놈의 t를 없애 봅시다.

또한 우리가 지금 구하고자 하는 핵심은 얼마나 멀리 날아가느냐 이기때문에 y값을 구해야 하니 y를 x에 대한 함수로 정리하는게 좋을것 같습니다.

따라서 x방향 공식을 변형하여 y방향 공식대 대입해봅시다.

 

여기서 시간 t를 y축 거리공식의 t에 대입하면 다음과같이 정리됩니다.

오호~~

이렇게 정리가 됩니다~. 상수는 복잡하지만 이것은 분명 이차함수의 모양입니다^^. 간단한 인수분해까지 마쳤지요??

 

따라서 Y=0인 X값은 다음과 같이 정리가 됩니다.

 

다 왔습니다. 위 함수는 분명히 2차함수고 X값이 위와 같을때 Y값이 0이 됩니다.

따라서 위 두 값이 저기 위에 있는 그림에서 빨간색 포물선이 X축과 만나는 바로 그지점이 됩니다. 던져지는 지점이 0 이되고 떨어지는 지점이 또 0이 되는 거죠.

 

따라서 인 지점이 바로 투사체가 떨어지는 거리가 됩니다.

중력가속도 g는 일정한 값이고, 초기속도역시 주어진다면 제일 멀리날아가기 위해선 사인값이 가장 클때 인데 사인의 최댓값은 1이므로 1이 되게하는 세타값은??

맞습니다. 바로 "45도" 입니다. 호도법으로 표기하면 "/4"가 되겠네요.

 

이는 우리가 직관적으로 생각하게 되는 값과도 정확하게 일치합니다.

 

 

여기서 한걸음 더 나아가면 높이 h에서 쏠경우, 지면에서 쏘고 높이 h에 있는 것을 맞추려는 경우가 있을수 있겠는데요.

이건 위 이차함수에 단순하게 마지막에 +h 만 해주고 풀면됩니다. 물론 인수분해가 안되니 근의 공식을 써야겠지요?

 

한번 계산해 보세요~^^ 참고로 답은 다음과 같습니다.

 

조금 복잡하지만 못풀정도는 아닙니다. 만약 이 경우라면 h값에 따라서 각도가 달라지겠지요~!!! 그리고 거리는 +만 사용될테구요.

 

 

이런 수학을 어디서 써먹을수 있을까요?

가장 많이 사용하는것은 대포의 사거리를 결정한다던지 비행기에서 폭탄을 떨어뜨린다던지, 로켓을 쏜다던지 하는 그런 알고리즘에 사용됩니다. 사실 이런건 대부분 알아서 컴퓨터가 해주죠~ 문제는 그 컴퓨터에 들어가있는 공식이 위의 공식과 정확하게 일치합니다. 물론 바람이나 공기의 저항같은 부분이 더욱 복잡하게 구성되어 있겠지만 기본은 같습니다.

이것이 바로 수학을 잘해야하는 이유입니다. 저런것을 프로그래밍하는것을 요새는 '코딩'이라고 하죠? 어린이들부터 코딩교육을 하느니 마느니 하는 얘기가 있는데요. 왜 수학을 잘해야 코딩이 가능한지를 단적으로 보여주는 좁은 예의 하나라고 들수 있겠네요~

 

이것으로 등가속도 운동의 기본적인 해석을 마칩니다~^^ 다음엔 또 뭘갖고 올지 고민해보겠습니다.

 

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그저 수학과 과학에 관심이 많은 사람입니다. 혹여 틀린부분이나 오타가 있으면 언제든 의견주세요^^