숫자 체계, 차원 (1)

 

수학과 관련한 첫번째 포스트는 제가 학생들을 가프칠때도 가장 먼저 가르치는 수체계와 차원으로 정했습니다.^^

수체계는 대수학 분야, 차원은 기하학 분야의 가장 기반이 되는 내용이라고 생각하고, 이를 깊이있게 이해하면 확장성도 무궁무진합니다.

특히나 대수학과 기하학이 만난다고 할수 있는 좌표계를 생각한다면 그 깊이는 이루 말할 수가 없죠~ 

그럼 시작해봅시다~!!!

 

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1. 수 체계

수체계는 우리가 잘 사용하는 것부터 하나하나 확장해 나가는것이 제일 쉽습니다.

 

주위에서 가장 많이 사용하는 수는 단연 자연수입니다. 오죽하면 영어단어 자체가 Natural No.겠습니까

우리가 제일 잘아는 그 수 1, 2, 3, 4, 5 ~ 이 숫자들이 자연수 입니다.

 

자연수의 엄밀한 정의는 1부터 시작해서 1만큼씩 커지는 수를 의미합니다.

이런 자연수는 사람들이 잘생각하지 못하기는 하지만 분명 세가지 수로 구분이 됩니다. 들어는 봤지만 잘 떠오르지는 않는것~

바로 소수, 합성수, 1로 구분이 됩니다.

 

많이들 들어보셨을텐데, 소수는 1이외의 어떤수로도 나누어 떨어지지 않는 수를 의미합니다. 2, 3, 5, 7, 9... 등등이 있습니다.

이 소수에 대한 연구는 정말 수도 없이 많이 있는데요~ 아직 증명되지 않은 '리만 가설'역시 이 소수의 연구와 관련한 가설입니다.

일반적으로 알려진 사실은 소수의 개수는 무한하게 존재한다는 것입니다.

 

<더 많은 사항은 위키의 소수 검색을 이용해 보세요~>

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%86%8C%EC%88%98_(%EC%88%98%EB%A1%A0)

 

합성수는 1과 소수가 아닌 수 전부를 의미합니다. 소수의 정의를 거꾸로 하면 되겠죠~ 1이 아닌 다른수로도 나누어 떨어진다는 소리입니다.

예를 들어 4는 2로 나누면 몫이 2가 나옵니다. 2*2로 나타낼수 있다는 의미죠~ 이때 나눌수 있는 2와 같은 수를 '약수'라고 부릅니다.

12라는 수를 한번 생각해 봅시다. 12를 나누어 떨어지게 하는 수는 다음과 같습니다. '1, 2, 3, 4, 6, 12' 12는 이렇게 여섯개의 약수를 갖네요.

1*12=12, 2*6=12, 3*4=12 이렇게 12라는 숫자를 약수들의 곱으로 나타낼 수 있습니다. 나누어 떨어지기에 당연히 곱하면 자기자신이 나오는 수가 생기죠.

여기서 우리는 합성수는 어떤 수들의 곱으로 나타낼 수 있음을 눈으로 확인 할 수 있습니다.

한걸음 더 나아가서 그렇다면 합성수를 '소수들의 곱으로만 나타낼수 있지 않을까' 하는 생각을 해볼수 있습니다.

예를 들어 3*4=12이지만 4는 2*2라는 소수들의 곱으로 나타낼수 있습니다. 그렇다면 우리는 12를 다음과 같이 나타낼수 있습니다.

2*2*3=12 우리가 아는 지수법칙을 이용하면 깔끔하게 정리가 가능합니다. 

 드디어 12를 소수들의 곱으로만 나타내었습니다. 이렇게 합성수를 소수들의 곱으로만 나타내는것을 우리는 '소인수분해'라고 부릅니다.

 

학생들을 가르치다보면 이 소인수분해와 인수분해를 전혀 별개로 생각하는 친구들이 있습니다. 결론적으로 보면 소인수분해는 인수분해를 하는데 그 인수들이 소수 라는 특징을 가진 인수분해의 한 방법일 뿐입니다. 12를 인수분해하면 2*6, 3*4 같이 나타낼수 있는겁니다. 인수분해라고하면 일단 다항식을 인수분해 하는것만을 생각하는데 생각의 폭을 넓혀야 합니다.

 

마지막으로 1은 그 자체로 뭔가 유니크한 특성이 있기에 소수나 합성수로 따로 구분하지 않고 그냥 1이라고 구분해둡니다. 모든수에 1을 곱하거나 나누어도 자기자신이되고 1을 수백만번 제곱을 하더라도 1입니다. 모든자연수를 나누어 떨어지게 할수도 있고 자연수 한단위의 차이도 당연히 1입니다. 숫자중에는 이렇듯 어떤 무리에 포함되지 않는 수가 딱 두개가 있는데 바로 1과 다음에 나오는 0입니다.

 

자 이제 자연수 부분이 끝났습니다. 한단계만 더 나갑시다. 

 

정수입니다. 우리는 자연수를 '양의 정수'라고도 부릅니다. 그러면 당연히 '음의 정수'도 있겠지요? 양의정수도 음의정수도 아닌수가 중간에 딱 있습니다. 바로 0 입니다. 곱하면 다 0으로 만들고, 나눌수는 없고, 더하거나 빼거나 숫자 변화가 안생기는 그런 아이입니다.

<0이라는 숫자에 대해서는 나중에 포스트할 기회가 있을것 같습니다.>

 

음의 정수는 0을 중심으로 해서 수직선 상에 양의 정수와 대칭이 되는 점에 있는 수로서 숫자 앞에 (-)를 붙여줍니다. 예를 들어 -4 이런식으로 말이죠.

수직선에서 나타내 보자면 이렇습니다.

 

 

음의 정수는 직관적으로 알수 있듯 (-)부호 뒤의 숫자가 커지면 커질수록 더 작은 수입니다. 이게 교과과정으로 들어가면 조금 헷갈리기도 하는데요. 여튼 음의 정수는 그런 성질이 있는것이고 음의 정수를 해석함에 있어서 단순히 그 숫자만을 사용하는것이 아니라 그 숫자가 원점(0)에서부터 얼마나 떨어져 있는가를 표현하기 위해서 절댓값이라는 걸 사용하기도 하는데 많이들 보셨겠지만 이렇게 생긴 표시입니다. "" 많이들 기억나는 표시죠? 이 절댓값의 정의는 바로 원점에서부터 얼마나 멀리 떨어져 있는냐를 나타내는 값입니다. 5, -5 두 수는 서로 크기는 다르지만 원점에서부터의 거리는 동일하지요~? 세상엔 음수가 될수 없는 것들이 존재하는데요, 바로 거리나, 무게 같은요소는 음수가 될수 없죠~ (물론 최신 입자물리학에서 연구중인 반중력, 음의 질량 같은것은 예외로 합니다~) 따라서 우리는 다음과 같이 나타낼수 있습니다.

 

자 여기까지해서 정수부분을 마무리 하겠습니다. 지금까지의 내용을 정리하면 다음과 같겠네요.

 

 

오늘은 여기서 마무리 해야겠습니다. ㅡ.ㅡ;;; 간단할줄 알았는데 하다보니 주저리 주저리 말이 많아진듯 합니다.

다음시간에 나머지 숫자들과 차원에 대해서 포스팅하겠습니다.

 

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전공자도 아니고 전문가도 아닙니다. 그저 관심이 많을 뿐입니다.

고수님들의 가르침을 언제나 환영합니다.~^^