고등수학을 향한 기본지식 2.다항함수와 초월함수

지난 포스트로 야심차게 시작은 했는데... 역시나 어렵고 힘든일입니다.

말로야 수도없이 하니까 상관이 없는데 이것을 글로 옮기는것, 그냥 연습장에 찍찍 그으며 그래프를 설명하다가

여기에 일일이 수식으로 만들고 그리고 하는게 장난이 아닙니다.ㅡ.ㅡ

 

여튼 시작한만큼 끝을 봐야지요...~^^

2018/01/30 - [자연과학] - 고등수학을 향한 기본지식 1.Prolouge, 방정식과 함수

 

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지난시간에는 간단한 수학 학습 체계와 함수와 방정식이 서로 다르지 않음을 보였습니다.

 

이번에는 함수란것을 한번 엄밀하게 정의해보고, 각종 함수에 대해서 알아보겠습니다.

 

함수란 무엇인가.

지난시간에 함수에 대해서 간단하게 설명을 드렸습니다.

 

함수의 함은 상자를 의미하고 그 상자에 솟자를 집어 넣으면 새로운 어떤 수가 나오는데 그 나오는 숫자가 넣는 숫자와 어떤 일정한 관계(대응관계)의 패턴을 유지하도록 하는게 바로 함수라고 했죠.

사진으론 이렇게 표현이 되겠네요

 

이것을 좀더 확장해 봅시다. 이때 넣을 수 있는 수를 우리는 '정의역'이라고 합니다. 나올수 있는 숫자를 '공역'이라고 하고 실제로 나온 값들의 모임을 '치역이라고 합니다. 이것을 우리가 수학시간에서 배운 모양으로 나타내면 다음과 같습니다.

 

간단하게는 이모든게 함수라고도 말 할 수 있지만 수학에서 말하는 함수는 단순히 X->Y로 대응관계만 있으면 되는것이 아니라 조건이 필요합니다. 그 조건이란것은 

1. 하나의 정의역은 하나의 값으로 나타난다. (하나의 숫자를 넣었을때 두가지 값이 나오면 안된다.)

2. 모든 정의역은 반드시 그 함숫값을 갖는다. (임의의 정의역에 대하여 값이 존재하지 않을수 없다.)

항상 글로 쓰면 뭔가 건조합니다.....ㅡ.ㅡ;;; 그림으로 봅시다.

두번때 그림이 바로 2번에 해당하는 그림입니다. C에 대한 함숫값이 정해지지 않았죠? 그래서 함수가 아닙니다.

세번째 그림은 1번에 해당합니다 B가 2, 3이라는 두개의 값을 가지죠? 그래서 함수가 아닙니다.

 

결국 함수를 구분하는 방법은 Y쪽을 손으로 가리고 X만 바라보면서 정의역에서 화살표가 안나간것도 2개 이상이 나간것도 있어서는 안됩니다.

 

그럼 우리 이것을 기초로 탄젠트 함수를 그려봅시다.

지오지브라 라는 프로그램입니다. 무료이니 한번 활용해 보시기 바랍니다.

 

불행이도 우리는 탄젠트 함수라고 부르지만 실제로 π/2, 3π/2, ... 등에서는 함숫값이 정의가 되지 않습니다. (∞는 값이 아닙니다. 계속 증가하는 상황을 표시하는것으로 보시면 됩니다.) 따라서 탄젠트 함수는 π/2, 3π/2, ... 가 아닌 정의역에서만 함수라고 부를 수 있는것입니다.

 

이것이 바로 함수의 정의가 되겠구요. 여러가지 함수의 종류를 알아봅시다.

 

지난 포스트에서 보여드린 그림입니다. 여기에 나온 함수 순으로 한번 알아보죠.

 

여기선 그냥 간단히 이런게 이런함수다~ 이정도로만 하고 풀이법은 다루지 않겠습니다.

 

1. 다항함수

우리가 흔히보는 함수입니다. 일차함수, 이차함수 할때 바로 그 함수지요.

이런 형태를 지니고 있는 것이 바로 다항함수입니다. 다항함수는 일반적으로 아래 그림과 같이 나타낼 수 있습니다.

왼쪽 직선부터 1차, 2차, 3차, 4차, 5차 함수 입니다. 패턴이 보이시나요? 차수가 하나증가할때마다 구부러지는곳이 하나씩 더 생기는 구조입니다.

 

이런 다항함수는 모든 함수 계산의 기초가 되므로 매우 중요하게 다루어집니다. 특히나 이차함수의 경우 등가속도 운동 방정식으로 나오기때문에 물리에서도 수도없이 하게되는 풀이지요

 

 

2. 유리, 무리함수

간단하게 유리함수는 분수함수, 무리함수는 루트가 씌여진 함수라고 보시면 됩니다.

 

앞에 쓴것이 가장 기본적인 형태이구요 뒤가 일반적인 형태가 됩니다.

 

그래프는 아래와 같습니다.

                   

 

 

3. 지수, 로그함수

지수나 로그로 나타내어진 함수입니다. 학생들중에는 지수함수랑 다항함수랑 차이를 묻는 친구가 가끔 있는데요. 지수에 미지수가 있는게 지수함수입니다. 로그는 지수의 역함수죠. 관계를 따져보면 아래와 같습니다.

 

그래서 로그함수과 지수함수를 나타내어 보면~

이렇게 쓸 수있습니다.

 

그래프는 다음과 같습니다.

사실 a값의 범위에 따라 그래프가 조금 달라지는데요. 문제를 해결할때 중요한것은 지수함수와 로그함수는 상호 역함수의 관계에 있다는것이 제일 중요합니다. 그 때문에 이런 그래프를 가져와 봤습니다.

 

 

4. 삼각함수

이게 좀 골치가 아픕니다. 개념만 정확히 이해하면 쉽게 접근 가능한데 처음엔 이게 잘 들어오질 않아요.

일단 삼각비를 먼저 알아봅시다.

일단은 사인, 코사인, 탄젠트만 알면 됩니다. 항상 직각 삼각형이여야 하구요~ (그래서 삼각비 배우기 직전에 피타고라스의 정리를 배웁니다.)

각각 의 변의 길이의 비가 직각이 아닌 다른 한각에 같으면 무조건 다 같더라 이말입니다.

 

그래서 이런 삼각비의 값은 각도의 함수가 되는데요. 여기서 각도를 재정의 해야합니다. 왜냐하면 우리가 일반적으로 사용하는 360도 법은 "도"라고 하는 "단위"가 붙습니다. 1회전하는것을 360으로 나눈 값이기 때문에 단위가 필요합니다. 이렇게 단위가 붙게되면 계산시 항상 단위를 신경 써줘야하거든요. 그래서 이 단위를 없애버린게 바로 호도법 입니다. 호도법은 각도를 반지름과 그 각도에 대한 원호의 길이로 나눈건데요. 반지름와 원호의 길이는 각각 단위가 같기때문에 단위가 나누어져서 각도에 대한 단위가 사라지고 그냥 숫자만 남기때문에 계산이 아주 수월해집니다.

이것이 헷갈리면 그냥 일단은 2π = 360˚ 일단은 이렇게 생각하시면 됩니다.

 

그래서 기본적인 삼각함수는 다음과 같습니다.

 

그래프는 다음과 같습니다.

 

사실 삼각함수는 할 꺼리가 너무나도 많습니다. 나중에 다시한번 포스팅 할 기회가 일을 껍니다.(언제일진 모르겠지만..ㅡ.ㅡ)

 

이렇게 이번 포스트에서는 함수의 정의와 여러가지 함수에 대한 이야기를 해 봤습니다.

 

다음은 좌표평면과 공간좌표, 벡터에 대해서 정리해 보겠습니다.

 

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여러분의 조언과 첨언, 오류수정을 감사히 받습니다.

 

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