고등수학을 향한 기본지식 1.Prolouge, 방정식과 함수

사실 올해 블로그를 시작한 목적이 있습니다. 이제까지 쌓아만 왔던 지식을 좀 정리하고자 하는 목적이 있거든요. 그런 지식 중에서 물리나 자연현상에 대한 것은 수학에 대한 이해가 없이는 진도가 나가지 않아요. 그래서 고등수학을 하기 위한 수학의 기본적인 지식들을 간단하게나마 정리해 놓을 필요를 느껴서 포스팅을 합니다. 몇 탄까지 갈지는 모르겠어요~ 생각나는대로 해볼려구 하니까^^

 

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나이가 들면서 점점더 확실하게 알게되는것 하나는 "기본이 제일 중요하다"는 것입니다. 무엇을 배우던지간에 기본기가 제대로 되어있지 않으면 위로 올라가기가 점점 힘들어 지는것을 알게 되더라구요. 악기를 배워봐도 그렇고 수학문제를 풀어봐도 똑같습니다. 그래서 지금부터는 기본기를 먼저 다져볼려구 합니다. 저도 머릿속을 정리하는 심정으로요.

 

대한민국의 중고등학교 수학과정을 보면 조금 뜬금없다는 생각이 많이 듭니다. 물론 저보다 훨씬 더 많은지식과 경험을 가지신분들께서 만은 생각을 통해 만드셨을테니 그 이유가 있겠지만 사실 저는 좀 이해하기가 힘든 과정의 배치들이 눈에 보입니다. 너무 뜬금없이 등장하는 것들도 많구요. 여튼 저는 수학도 아래 단계에서는 조금 세부적으로 나눌 필요가 있어보이는데요. 적어도 대수학과 기하학은 따로 배워서 통합하는 과정이 필요하다고 봅니다. (미국이 이런 교육과정을 채택하고 있습니다)

교육과정에 대한 이야기는 수학내용을 말씀드리면서 하나하나 말씀을 좀 드리겠습니다.

 

제목이 고등수학이다보니 고등학교 수학일꺼라고 생각하실지 모르겠습니다만.... 뭐 틀리진 않습니다. 우리나라 수학이 쉽지는 않으니까요. 그리고 사실 고등학교 수준의 수학을 잘 이해 하고 있으면 완전 고급 수학이 아니라면 거의 모든 상황에서 수학 활동이 가능합니다. (이건 논란의 여지가 있겠군요) 여튼 여기서는 고등학교 정도 수준의 수학까지 한다 정도로 생각하시면 편하실꺼에요.

 

사실 큰 그림을 먼저 그려봐야합니다. 수학이라는 학문이 어떤 구조로 되어있고 우리는 뭘 배우는지를 생각해 보려면 숲을 보는게 필요하죠.

하지만 이런 구분도 너무나 다양하게 나와있기 때문에 이게 맞다 이게 틀리다를 말하기가 쉽지않아요.

 

지금부터는 그냥 제가 생각하는 수학의 구분과 그것을 배우는데 어떤 식으로 접근하는것이 좋을것인가에 대한 정리를 먼저 해보겠습니다.

 

일단 고등학교 수학의 끝은 미적분이라고 보면 크게 틀리지 않습니다. 물론 기하과 통계과목이 있지만 중학교부터 시작해서 계속 이어지는 정점엔 바로 미적분이 있다고 보시면 됩니다. 그럼 중학교부터 미적분까지 가는 길을 한번 정리해 보죠.

그냥 급하게 만들다보니 아름답지는 않지만 그냥 봐주세요~ 전체적인 그림을 그리는것이 중요합니다. 각각의 네모안에 있는 단어들은 우리들이 교과과정을 통해서 배운 단원들의 내용과 대동소이합니다. 이런 큰 흐름속에서 우리는 각론들을 배운것이라고 생각하면 틀리지 않습니다. 그림에서 보시다시피 기하학(도형)과 대수학(다항식)은 그래프를 통해서 만납니다. 이런것들을 다시 미분하고 적분하고 하는게 수학의 거의 전부입니다.

 

많은 분들이 수학의 구분을 순수수학, 대수학, 기하학, 해석학, 응용수학으로 나누는 것을 잘 아실텐데요.

위 그림에서 순수수학과 대수학에 해당하는 부분이 함수쪽 이라고 보시면 되고, 기하학은 도형, 해석학은 극한, 미적분, 응용수학은 통계학 뭐 이런식으로 구분하면 될듯 합니다. (깊이 따지고 들어가면 솔직히 다 그냥 수학입니다...ㅡ.ㅡ)

 

 

여튼 이 표를 머리속에 잘 갖고 계시면 이 강의가 어디쯤 와있는가 하는데 도움이 될것 입니다.

일단 너무 쉬운 부분에 대해서는 언급하지 않을것이고 간단히 스킵하는 부분도 많을테니 더 필요한것은 질문해 주시거나 다른 검색을 해주시면 감사하겠습니다. 더불어 수체계와 차원에 대한 이전 포스팅을 먼저 보시면 도움이 되실것입니다.

2017/12/30 - [수학] - 숫자 체계, 차원 (1)

2018/01/02 - [수학] - 숫자 체계, 차원(2)

 

1. 방정식과 함수의 관계

사실 방정식은 어따 넣기가 애매해서 그냥 여기에 넣었습니다. 많은 학생들이 방정식과 함수를 따로 떨어뜨려 놓고 생각하기 때문인데요. 이건 완전히 똑같은 이야기 입니다.

이를테면 "방정식은 알겠는데 함수는 잘모르겠어요" 라고 하는 학생들이 있습니다. 이건 그냥 다 모른는겁니다.

 

방정식은 모르는 숫자를 구하는것입니다. 예를 들어서

이런 여러가지 식에서 X값을 구하는게 방정식입니다.

맨위 식은 미지수 X가 1차이기때문에 일차방정식이라고 부를수 있습니다.

두번째는 미지수 X의 항이 2차이기때문에 이차방정식이라고 부르죠. 똑같이 세번째 네번째도 로그방정식, 삼각방정식 이렇게 부릅니다.

 

그럼 함수는 뭘까요. 함수에서 함자는 한자로 상자를 쯧하는 그 함입니다. 보석함 할때 그 함.

따라서 함수는 어떤 상자입니다.

이렇게 어떤 숫자를 넣으면 그 상자안에서 어떤수학적 과정을 거쳐서 새로운 무언가로 재탄생시키는 것을 함수하고 합니다.

우리는 보통 이 함수를 영어의 function의 f를 써서 f(x)라고 많이 사용하죠. 여기서 x는 다름아닌 내가 넣으려고 하는 수의 자리에 쓰면 되고, 우리는 이것을 표현할때 'x에 대한 함수'라고 부릅니다.

 

가끔 학생들이 묻는게 f(x)하고 y하고 뭐가 다른겁니까? 라고 묻는데요...ㅡ.ㅡ 참 난감합니다. 그냥 그럴때는 같은거라고 생각해~ 그러고 말때도 많은데요.

정확한것은 "f(x)는 등호(=)뒤에 나온 식을 우리는 f(x)라고 부를꺼야. 만약 x에 숫자5를 넣는다면 우리는 그걸 f(5)라고 쓸꺼야" 라는 의미이고, "y는 니가 f(x)라는 함수의 x에 5를 넣었어, 그래서 함수를 막계산해 봤더니 35가 나왔다고 하자. 우리는 그 나온값은 문자로 y라고 쓸꺼야. 결국 f(5)=35이고 x가 5일때 y값은 35이지. 결국 f(x)=y라고도 할수 있어" 이런 이야기 입니다.

 

그럼 왜 y를 쓰느냐. 보통 그래프를 그릴때 좌표평면을 많이 사용하죠.

여기에서 우리가 흔히 x값을 넣었을때 나오는 함숫값을 y좌표에 나타내다보니 그렇습니다. 왜 x, y를 썼느냐는 검색해보세요^^

 

자 그럼 함수와 방정식의 관계가 해결 되었습니다.

방정식이라는것은 어떤 함숫값(f(x))을 지정해 놓았을때의 x값을 구하는것을 방정식이라고 부르는 것입니다. 다시 위의 식을 가져와보죠.

 

이런 방정식은 함수식으로 다음과 같이 쓸수 있습니다.

결국 함수가 더 큰 개념이고 방정식은 그 함수의 어떤 특정한 값을 만족하는 숫자이며 그 숫자를 우리는 "해" 또는 "근"이라고 부르는것입니다.

 

서설이 길다보니 별것 하지도 않았는데 진이 빠지네요.

다음시간부턴 본격적으로 수학 기초에 대해서 배워볼께요~^^

 

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여러분의 조언과 첨언, 오류수정을 감사히 받습니다.

 

이 글은 제 네이버 포스트(post.naver.com/acekimsm)에서도 보실 수 있습니다.