고등수학을 향한 기본지식 3.공간좌표와 벡터

개인적인 생각의 정리로 인해 두달정도 성경에 관한 이야기만 썼습니다만 다시금 수학 과학이야기를 같이 병행합니다.

(아무도 관심을 안가져 주기는 하지만) 열심히는 계속 해보렵니다.^^

이전의 기본수학 컨텐츠는 아래 링크를 참조해 주세요

2018/02/08 - [수학] - 고등수학을 향한 기본지식 2.다항함수와 초월함수

2018/01/30 - [수학] - 고등수학을 향한 기본지식 1.Prolouge, 방정식과 함수

 

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이번 강의에서 이야기 할 내용은 공간좌표와 벡터입니다.

공간좌표는 이미 이전의 포스트에서도 그래프를 그리며 간단히 설명을 했고, 이 글을 보실정도의 분이라면 분명히 학교를 다니시면서 그래프를 그리며 (x, y)를 표기했었던 기억이 있으실 것입니다. 바로 그 이야기를 하려고 합니다.

 

좌표평면에 대해서 이야기 하기전에 도대체 어떤 사람이 좌표평면을 만들어서 우리를 이렇게 개고생을 시키는지 한번 알아봅시다.

 

그 주인공은 바로 데카르트입니다.

위 사진에는 불어로 쓰여있지만 더 유명한 '코기토 에르고 숨(COGITO ERGO SUM)'으로 더 잘 알려져 있고, 중세를 끝낸 철학자라고들 많이 알고 계시겠지만, 사실 이분은 수학적으로도 좌표평면이란것을 만들어 기하학과 대수학을 만나게 한 엄청난 업적을 지니신분이기도 합니다.(학생들에겐 공포스럽겠지만...) 그래서 좌표평면을 데카르트 평면, 영어로는 카테시안 그리드라고 부릅니다. 카테시안은 데카르트의 라틴어표기라고 합니다.

 

좌표평면은 아주 간단하죠. 아래 그림과 같습니다.

세로축을 보통 y축, 가로축을 보통 x축 이라고 부릅니다. 여기에도 여러가지 설이 있는데요. 당시에 활자가 귀해서 가장 안쓰이는 글자였던 x, y를 쓰게 되었다는것이 다수설이기는 합니다. 이렇게 4개의 구역으로 구분된 평면을 우상 평면을 제1사분면이라고 해서 시계 반대방향으로 2, 3, 4 사분면이라고 부릅니다. 사분면에 따라서 각각 x, y의 부호가 달라지게 되죠.

 

가장 중요한것은 바로 기준점인 원점입니다. 모든 위치의 출발은 원점으로 부터 시작을 합니다. 만약 원점으로부터 x툭의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 2만큼 떨어진 점의 좌표는 (3,2)라고 표기를 합니다. (x축의 좌표, y축의 좌표)이런식으로 말이죠.

 

아주 예전에 차원에 대한 이야기를 했었던 적이 있습니다.

2017/12/30 - [수학] - 숫자 체계, 차원 (1)

2018/01/02 - [수학] - 숫자 체계, 차원(2)

(궁금하신분은 보세요^^)

 

이때 1차원은 선, 2차원은 면이라는 이야기를 했었는데요. 사실상 좌표평면이라고 했기때문에 2차원의 면적이지 우리는 1차원 영역에서도 똑같은 일을 했었습니다. 바로 '수직선'이라는 말로 그것을 대신했었죠.

아로 이겁니다. 위의 유리수는 그냥 보세요~ 여기저기서 사진을 퍼오다보니 아마도 이것은 중학교 과정을 설명하는 단계에서 나온 모양입니다.

 

그럼 3차원에서의 것도 있어야겠죠? 있습니다. 공간좌표라는 이름으로요.

이런거 본 적 있으실껍니다.

 

그렇담 이러한 좌표라는게 왜 생겨나서 우리를 괴롭히는걸까요? 그것은 바로 어떤 점의 위치를 '측정'하기 위해서입니다.

측정을 하기 위해선 '기준점'이 필요하죠, 이 위치를 숫자로 측정하기 때문에 그 기준이 되는 점을 바로 0이라고 두고 이런 공간, 평면좌표에서는 '원점'이라고 부릅니다. 이 원점으로부터 얼마만큼 떨어져 있는가를 숫자로 표시한 것이 바로 우리가 측정하고자하는 점의 '좌표'입니다.

 

따라서 수직선에서는 오로지 하나의 숫자에 대한 대소 비교만 가능합니다. 함수의 형태를 표시할 수가 없죠. 아시다시피 함수라는것은 x, y의 관계를 나타낸 식입니다. 따라서 x하나만 나타낼 수 있는 수직선 에서는 한가지 변수의 범위나 두개의 위치의 대소비교만 가능할 뿐입니다.

그래서 함수의 형태를 나타낼 수 있는 가장 기초적인 평면을 제대로 공부해야 합니다.

 

많은 학생들이 보면 좌표평면을 무슨 그래프에 국한된 그런 것으로 치부하고는 하는데 이 그래프를 그리고 함수나 방정식을 해석 할줄 알게 되면 여러 대수학 문제를 해결하는데에 많은 도움을 받을 수가 있습니다. 예를 들어 아래와 같은 이차함수가 있다고 합시다.

 

 

그리고 이 함수의 그래프가 가상으로 아래와 같다고 생각해 봅시다.

그렇다면 함수가 아닌

이런 방정식의 두 근은 위 함수의 그래프에서 y=0인 지점 α, β가 됩니다.

 

아주 쉬운 이야기이긴 하지만 모든 대수학 문제의 경우 위와 같이 그래프의 영역에서 풀면 아주 쉽게 풀리는 경우가 많이 있습니다. 나중에 나오는 부등식의 경우에도 실제로 어렵게 외우는 학생들이 많이 있는데 그래프를 잘 다룰줄 알면 외울 필요가 없어지죠.

 

여튼 이런것이 바로 좌표입니다.

 

이런 좌표와 뗄레애 뗄 수 없는것이 바로 '벡터'입니다.

사실 벡터라고 하면 '크기와 방향이 있는것으로 크기만 있는 스칼라량에 대비된다'라고 많이 정의 하는데요.

이런겁니다.

(사실 이런거 PC상에 표기하는게 힘듭니다....ㅡ.ㅡ,,, 그래서 그냥 누군가 해놓은것 가져다 쓰고 있는데요. 그래서 엔간하면 그 파일 변형 안하고 쓰고 있습니다.)

 

벡터는 저렇게 화살표의 길이로 그 크기를 나타내고, 화살표의 방향으로 방향을 나타냅니다. 중요한 것은 그냥 저 모양그대로 아무렇게나 움직여도 (평행이동을 해도) 아무런 상관이 없다는것입니다. 저 크기와 방향만 바뀌지 않는다면 말이죠.

 

벡터를 표기하는 방법도 여러가지가 있는데요. 교수님들만다 다 다양한 벡터의 표기방법을 갖고 계시고, 보통 가장 처음 배운 교수님의 벡터 표기 방법을 이후 사람들도 사용하는것 같습니다. 가장 많이 사용하는 벡터의 표기는 아래와 같습니다.

기타 위에 점을 찍는 분도 계셨고, 각 글자에 직선을 하나 더 긋는 방법을 쓰는 분도 뵈었습니다. 여튼 다양하다는것을 말씀드립니다.

 

어떤 벡터가 주어졌을때, 그 방향을 고려하지 않고 크기만 나타내고 싶을때는 위의 그림과 같이 벡터에 절댓값 기호를 씌워주면 됩니다. 그렇게 되면 그 값은 스칼라량이 되죠.

 

이런 벡터를 평면 또는 공간좌표 위에 올려놓으면 계산이 편해집니다. 한번 올려놓아 보죠.

 

벡터의 방향과 그 크기가 확실하게 정의되어지죠. 그리고 이 벡터의 크기와 방향을 x축과 y축, z축의 좌표로 나타낼 수가 있습니다.

이때, 각각의 축의 방향이고 그 크기가 1인 벡터를 한번 생각해 봅시다. 그림에서도 e라고 표기된 것과 같습니다. 이런 벡터를 '단위벡터'라고 합니다. (단위벡터도 여러가지 방법으로 나타낼 수 있는데요. 보통 글자 위게 조그만 세모를 그리는 햇 기호를 쓰는 경우가 많습니다.)

 

이제 그림의 a벡터는 각각의 단위벡터의 배수의 합으로 나타낼 수 있습니다. 아래와 같이요.

 

 

사실 위의 벡터의 정의는 틀린 정의는 아니지만 이런 정의로 인해서 벡터라는 활용이 무궁무진한 도구를 공간또는 평면에 한정해서 사용하는것은 아닐까하는 생각이 듭니다. 의례 벡터라고 하면 기하학의 영역에 국한 시키는 것이죠.

 

하지만 제가 생각하는 벡터의 정의는 바로 '성분'을 가진 모든것을 뜻한다고 생각합니다. 저 위에서도 각각 x, y, z성분으로 이루어진 어떤 값이라고 할 수도 있거든요.

 

이를테면 이런걸 생각해 보죠. 어떤 학교의 학생 성적을 집계한다고 생각해 보죠.

예를 들어 홍길동이라는 학생이 국어: 80점, 수학:75점, 영어:90점을 받았다고 생각해 보죠.

그럼 벡터 홍길동은 (80, 75, 90)이라는 벡터로 생각해도 무방하다는 것입니다. 실제로 컴퓨터에서 자료를 구분하고 해석하는 방법이 바로 이런 방법입니다.

 

이것을 활용하기 위해서 그럼 바로 벡터의 연산에 대하여 알아보죠.

 

벡터의 +,- 연산은 매우 쉽습니다. 그냥 성분끼리 더하고 빼면 됩니다.

그냥 이렇게 하면 됩니다.

 

재미있는것은 내적과 외적이라는 값 입니다.

내적은 결정적으로 스칼라 값을 갖습니다. 일단 그림으로 보죠.

아무래도 고등학교 과정에 대한 글들이 많다보니 고등학교에서 필요한 정도의 내용밖에는 나오지 않는듯 합니다.

위의 벡터 사이에 점으로 나타낸것이 바로 내적입니다. 두 벡터의 크기와 각도의 코사인값의 곱입니다.

이렇게도 정의 하지만 다음과 같이도 나타낼 수 있습니다.

 

이 성질을 아까 홍길동 학생의 성적에 한번 적용시켜보죠. 어떤 대학교에서 홍길동학생을 포함한 모든 지원학생의 성적에 국어성적에는 0.5의 가중치를, 수학성적에는 2의 가중치를, 영어성적에는 1의 가중치를 둬서 최종 점수를 작성한다고 생각해 봅시다.이때 홍길동 학생의 성적을 벡터h라고 하고 가중치 벡터를 벡터g라고 합시다. 그렇다면 우리는 아래와 같이 계산이 가능합니다.

 

실제로 컴퓨터에서 계산 하는 방식이 이런식입니다. 따라서 벡터라는것을 기하학에 국한하지 말고 다양한 방법으로 생각해 보는 사고의 유연성이 있었으면 좋겠습니다.

 

그리고 외적이 있는데요. 이것은 고등학교 과정에선 배우지 않습니다만 물리를 하다보면 매우 중요한 개념이기 때문에 일단 계산법만 알고 넘어가겠습니다. 내적과 가장 다른 점은 바로 외적값은 스칼라가 아닌 벡터라는 것입니다. 또한 내적의 경우 교환법칙이 성립하지만 외적은 교환법칙이 성립하지 않습니다.

 

외적은 아래와 같습니다.

외적은 기호는 곱하기와 동일하구요, 위 i, j, k는 각각 x, y, z축의 단위벡터라고 생각하시면 됩니다.

 

조금 쉽게 외울 수 있는 방법이 있는데 사실 위식은 행렬을 공부하신분이라면 간단하게 알 수 있는 행렬식입니다.

이건 나중에 나오게 되면 다시한번 쓰는걸로 할께요.

 

외적을 통해 나온 값은 벡터라고 말씀드렸습니다. 그럼 이 벡터는 어떤 벡터가 되는지도 한번 눈으로 확인하시죠.

위와 같이 두 벡터가 이루는 평면과 수직인 벡터가 됩니다. 만약 a, b벡터의 위치가 바뀌어 외적을 취하면 크기는 같고 방향이 정 반대인 벡터가 나옵니다. 이러한 외적은 회전력과 관계가 있는데요, 나중에 토크라는 힘이 나옵니다. 거기에서 아마도 나오게 될것입니다.

 

이렇게 좌표와 벡터에 대하여 알아봤습니다.

 

다음엔 합성함수와 역함수를 알아 볼께요.

 

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오류 수정이나 조언, 첨언, 소통 환영합니다.