숫자 체계, 차원(2)

지난포스트를 시간땜에 엄하게(?) 마치고 다시 씁니다. 오늘은 티스토리의 자동저장기능을 알았으니 맘놓고 넉넉하게 써보렵니다^^

수체계와 차원의 두번째 포스트입니다.

2017/12/30 - [수학] - 숫자 체계, 차원 (1)

 

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지난 포스트에서 정수에 대해서 알아봤습니다. 그럼 숫자를 점차 확장해 봅시다~

 

정수를 포함하는 상위 숫자는 어떤것일까요?

우리가 많이 들어봤을 "유리수"입니다. 이것은 간단하게 말해서 a, b가 정수일때 a/b의 꼴(b는 0이여선 안됨)로 나타낼수 있는 수를 유리수라고 합니다.

 

이건 전적으로 제 생각인데요. 유리수를 영어로 하면  Rational number입니다. 비율의 숫자라는 의미죠. 비율이란것이 결국은 분수(나눗셈)의 형태라는 의미가 있기때문에 개인적으론 "유비수"가 음이 변한게 아닌가 하는 의심을 해봅니다만  뭐 이건 제 생각이고 특별히 알아보지도 않았습니다. 중국어로는 유리수가 맞더라구요~^^

 

여튼 어떤분수를 잘 조작해서 분모, 분자가 정수인 수의 꼴로 나타낼수 있으면 유리수라고 합니다.

1/2, 1/3 이런것 당연히 다 유리수구요. 우리가 일반적으로 아는 정수도 전부 n/1의 꼴로 나태낼수 있기때문에 유리수의 범위에 들어갑니다.

여기서 유리수뿐만아니라 수학전반에 걸쳐서 중요한 사실하나를 말씀드리자면 분모에는 절대로 0이 들어올수가 없습니다. 이건 그냥 정의가 안되는 수입니다. 아래 유리함수의 그래프와 살짝 극한의 개념을 차용해 보자면 x값이 0에 무한이 가까워지면 양의 무한대 또는 음의 무한대의 값이 나오게 됩니다. 하지만 그야말로 X가 0인곳에서의 함숫값은 존재하지를 않습니다.

 

            

수학자나 과학자들이 뭔가 수학적 계산을 해야할때 분모의 값이 0이 나온다거나 함숫값이 무한대가나오면 '아 내가 전에 뭔가 실수를 했나보구나'하고 다시 계산을 처음부터 한다는 우스겟소리가 있더라구요. 정말 공감합니다.

여튼 그래서 유리수의 정의를 말씀드릴때 'b는 0이 아니다'라는 부가조건을 붙였습니다.

 

모든 유한소수는 다 분수로 나타낼수 있습니다. 0.7 = 7/10 이런식으로 말이죠~

또한 순환하는 무한소수도 분수로 나타낼수 있습니다. 순환하는 무한소수란 1/3==0.33333333...... 이렇게 똑같은 수가 반복되거나 아니면 똑같은 숫자의 나열이 반복되는 수를 의미합니다. 이건 쓰려면 복잡하니 <순환하는 무한소수 분수> 이렇게 검색해보세요~>

 

유리수인데 정수가 아닌 수를 너무나 허망하게도 "정수가 아닌 유리수"라고 부른답니다.

 

유리수가 있으면 무리수도 있겠지요?

무리수는 간단하게 말하자면 분수의 형태로 나타낼수 없는 수이며 이걸 또 간단하게 표시하자면 순환하지 않는 무한소수입니다.

우리가 많이 쓰게될 등의 대부분의 값이 여기에 해당합니다.(물론 정수의 값을 갖는 X도 많습니다.)

무리수는 고대 피타고라스학파의 히파소스에 의해 발견되어졌다고 알려져 있는데요 이에 대한 일화는 한번 검색해보시면 좋을듯 합니다.

 

여튼 이런 유리수와 무리수의 집합을 "실수"라고 합니다.

실수는 영어로 Real Number라고 부릅니다. 실재로 존재하는 수라는 소리지요. 숫자는 다 존재하는거지 이게 뭔 개똥같은 소리냐 하시겠지만 실재로 존재는 하지 않지만 분명히 숫자의 역할을 하는 수가 있기때문에 이렇게 실수라는 말이 붙지 않겠습니까?

이어 차원에서도 잠깐다루겠지만 수직선의 모든 점은 실수의 값을 갖고 있습니다.

 

그럼 실재 존재하지 않는 수는 도대체 무슨 수인가요? 우리는 바로 이걸 '허수'라고 부릅니다.

허수는 기본적으로 ""을 알아야 합니다. 제곱해서 -1이 되는 수가 있나요??? +랑+를 곱해도, -랑-를 곱해도 결과는 + 아닌가요???

그래서 존재하지 않는수 허수라고 부른답니다. 모든 실수에 ""이 붙으면 허수가 됩니다. 이라고 쓰기도 어렵기 때문에 수학에서는 ""라고 많이 쓰이고, 물리나 전자기학에서는 전류와 구분하기 위해서 ""로 더 많이 표기하니 알아두시면 좋을듯 합니다.

허수에 대해서는 굉장히 내용이 많기 때문에 나중에 포스트할일이 있지 않을까 생각합니다.

여튼 고등학교의 과정까지에서는 허수단위를 취급하지는 않습니다.(허수를 배우지만 그 단원에서만 사용합니다.) 허수는 대부분 "잠재된 에너지"같은 의미로 많이 사용되어지니 일단 이정도만 참고하세요~

 

이런 실수와 허수를 동시에 포함하는 수를 복소수라고 합니다. 영어로 Complex입니다. 합쳐졌다는 얘기죠.

복소수의 기본적 형태는 "a+bi"이며 계산 역시 실수분인 a, 허수부분인 bi를 따로 계산합니다. 

 

자 이제 이게 모든 숫자의 분류입니다. 그룹으로 표시하자면

이렇게 될것이구요~

 

벤다이어 그램으로 표시하면

이정도로 나타낼수 있겠네요^^

 

 

 

다음은 차원에 대한 이야기 입니다.

영어로 Dimension입니다. 보통 2D, 3D, 4D할때 그 D의 약자이기도 합니다. 이 차원이란건 뭘 의미할까요?

dimension을 사전에서 찾아보면 "차원"이라는 뜻과 함께 "치수, 넓이"라는 뜻이 나옵니다. 이것으로 유추해보면 차원이란것은 무언가를 측정다는 느낌이 듭니다.

그럼 1차원은 하나를 측정할수 있다는 이야기이구요. 2차원은 두개를, 3차원은 3가지를 측정할수 있다는 의미가 되겠지요~

그림으로 표현하자면 다음과 같습니다.

여기에서의 점은 이상적인 점으로서 그 면적을 갖지 아니한 점입니다. 따라서 점하나가 있다는것은 그어떤것도 측정할수 없습니다. 점의 위치를 측정하는것은 다른이야기구요. 점 그 안에서 측정할수 있는것이 없다는 뜻입니다. 따라서 0차원입니다.

선은 점들의 집합입니다. 점은 면적이 없기때문에 선은 아무리 짧다하더라도 그 안에 무한히 많은 점을 갖고 있습니다. 이런 선에서는 드디어 "길이"를 잴수 있습니다. 이 선의 어느 한점을 기준으로 하면 임의의 한점까지의 거리를 알수 있습니다. 이것이 바로 측정입니다. 따라서 1차원인 직선상에서의 위치는 딱 길이만 알면 그 위치를 특정할 수 있습니다. 이것을 확장해봅시다.

 

이 선들을 차곡차곡 쌓으면 면이 됩니다. 사실 이건 극한과 적분의 개념이기도 한데요, 여기선 완전히 직관적으로만 설명해보겠습니다.

면에 존재하는 한 점의 위치를 설명하려면 적어도 두개의 위치가 특정되어야 알 수 있습니다. 그것이 바로 우리가 흔히 볼 수 있는 좌표평면입니다. 좌표평면의 어떤 점의 위치를 설명하기위해서는 X좌표와 Y좌표를 알아야만 합니다. 극좌표라는것을 아시는 분들은 원점으로부터의 거리와 X축과의 각도를 통해서도 그 위치를 알 수 있음을 압니다. 그림으로 보자면 다음과 같죠.

어찌되었건 간에 2차원 평면에서 한 위치를 알려면 그게 어떤 파라미터이든 두개를 반드시 알아야 합니다. 우리 마음대로 어떤 좌표체계를 새로이 만들어 낸다고 하더라도 이것은 절대 변하지 않습니다.

 

3차원은 이 면들을 다시 차곡차곡 쌓아서 부피를 만들어 냅니다. 그러면 당연히 그 다음을 아시겠죠?? 이 공간이란곳에서 우리가 측정할수 있는것은 바로 가로세로높이의 3개 입니다. 최소한 3가지의 파라미터를 알아야 위치를 특정할 수 있고, 공간의 크기를 측정 할 수 있습니다. 물리를 하다보면 구좌표계나 원통좌표계를 사용하기도 하는데요 이것들 역시 당연히 3가지 파라미터를 이용합니다.

                                  

왼쪽이 원통좌표계, 오른쪽이 구좌표계입니다. 참고하세요~^^

 

그럼 4차원은???? 아쉽게도 4차원은 시각적으로 표현하기가 어렵습니다. 공간은 일단 3차원이라고 보셔야 합니다. 이 공간의 3차원에 시간의 차원을 더하는것이 바로 4차원인데요. 이것은 상대성이론을 설명해야 하는 것이기 때문에 여기서는 설명을 생략합니다. 간단히 말하자면 지금 공간에 한점을 특정하는것과 동일한위치의 점을 1시간 뒤에 특정한다는것은 가운데의 시간차이가 있기때문에 결코 갖은것이 아니다라는 다소 이해하기 어려운 얘기입니다.

 

그럼 생각해봅시다. 모든좌표를 길이로만 측정한다고 했을떄 각 차원의 크기의 단위를 한번 봅시다.

길이 = ,  넓이 = ,  부피 =  ~~!!!!!!!

계속 자승으로 올라가지요? 차원이 높아질수록 측정할때의 승수가 올라갑니다.

 

그래서 기하학적으로 차원이 올라가면 승수가 올라갑니다. 그래서 "기하급수"적이라는 말이 나오는것입니다. 기하급수는 영어로 geometric sequence라고 부릅니다. 저는 처음에 이게 무슨뜻인지 잘 몰랐습니다. 왜 수열에 기하학이 관련이 되어있는지 고민을 많이 했었던 기억이 납니다. 이런뜻이 있더라구요. 우리나라말로 "등비수열" 입니다.

 

하나만 더 나가죠~

위에서 실수의 개념을 설명할때 '실재로 존재하는 수'를 실수라고 한다고 했습니다. 그래서 수직선은 실수의 집합입니다. 우리가 측정할 수 있고 크기의 비교가 가능합니다. (허수는 크기의 비교가 불가능합니다.) 수직선은 넓이가 없는 점들의 집합이라고 했고 그 안에는 그 길이가 아무리 작더라고 무한대의 점이 그 안에 존재한다고 했습니다. 실수는 그 점 하나하나에 각각의 실수가 부여되어있는것입니다.

1에서 2 사이엔 무한개의 실수가 존재하고 있습니다. 1과 1.1 사이에도 무한개의 실수가 존재합니다. 그래서 우리가 좌표평면상에서 어떤 함수의 그래프를 그릴때 그 정의역, 공역을 실수전체의 집합으로 일반적으로 상정하는것입니다.

이 내용이 정말 아무것도 아닌것처럼 생각이 되겠지만 사실 이런 개념을 아는 학생들이 별로 없습니다. 이 모든게 다 따로 떨어져 있는것처럼 수학을 배우니까 외울께 많아지고 수학이 어려워지는겁니다.

 

이것으로 수학강의 첫번째 수체계와 차원에 대한 강의를 마칩니다.

 

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전공자가 아닌 일반인의 글입니다. 오류의 수정과 의견 항상 감사히 기다립니다.

감사합니다~^^