등가속도 운동의 수학적 원리와 활용(1)

이 이야기를 물리에 써야할지 수학에 써야할지 나도 판단이 잘 서지는 않는다.

 

"신은 수학을 이용하여 세상을 창조하셨다."는 '폴 디렉'의 이야기처럼

수학은 세상이 돌아가는 원리를 너무나도 단순명쾌(?)하게 설명해 주는 도구이다.

그래서 언젠가부터 수학과 물리는 뗄레야 뗄수가 없는 사이가 되어버렸지~

물론 이것은 수능에서 물리선택이 줄어든 결과와도 일맥상통하고...ㅋㅋㅋ 

잡다한 소리였고~ 일단 물리 카테고리에 넣어본다.

 

나의 역사적인 첫 포스팅은 등가속도 운동으로 정했다.

모든 물리교과서에서 제일처음으로 다루는 내용이기도 하거니와 직관적으로도 가장 쉽게 이해할 수 있는내용이기 때문이다.

 

그럼 시작합니다~^^

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1. 등가속도 운동이란?

 

등가속도 운동은 말그대로 가속도가 계속 일정하게 유지되는 운동을 말한다.

그렇담 가속도는 무엇이냐?

여기서 엄밀한 정의가 필요한데 뉴턴형님을 소환하자.

우리 대부분이 노상외우고 있는 다음의 공식을 한번 소환해보자.

 

                        

 

매번 보고, 누구나 "난 에프는 엠에이말곤 암것도 몰라"라고 하는 바로 그 공식이다.

위에 화살표는 저게 벡터(Vector)라는 소리인데 일단 무시하자.

저 공식에서 F는 힘을 의미하며 단위는 뉴턴(N)이다. m은 질량으로 kg이고,

바로 a가 가속도이며 단위는 이다.

<이 공식는 언젠가 이 블로그를 통해서 포스팅을 할 날이 올것이다.>

 

결국 가속도라는것은 어떤 물체(질량이 m인)에 힘을 가했을때 발생하는 어떤 운동의 형태이다.

어떤 물체에 힘이가해지면 어떤일이 벌어질까?

그렇다~!!! 움직인다. 물리학적으론 속도가 변한다!!!! 이게 바로 힘의 정의가 된다.

여튼 우리는 가속도에만 집중을해보자면 속도가 변하는것을 힘이 가해졌다라고 생각할 수 있고,

그것은 곧 가속도가 그 물체에 발생했다라고 생각 할 수 있다.

 

그렇다면 등가속도 운동은 '어떤물체의 속도가 변하고 있는데 그 변화하는 정도가 일정하게 유지되는 운동이다.'라고 정의할수 있다. 그 변화의 정도가 양수(+)이면 계속 속도가 증가할것이고, 음수(-)라면 속도가 계속 줄어들고 결국 지금의 방향과 반대의(거꾸로)방향으로 나아갈 것이다.

 

<이후에 나오겠지만 가장 대표적인 운동이 바로 자유낙하 운동이다. 중력가속도 9.8이 계속되는 운동이다. 아인슈타인의 등가원리는 가속도와 중력이 물리적으로 동일함을 보여준다. (우리는 매시간 가속도 운동을하고 있는것과 같다.^^)>

 

2. 등가속도 운동의 수학적 정의

 

가속도가 일정하다는것은 수학적으로 가속도가 시간에 따라 변화하지 않는다는것을 의미한다. 이것을 세련된 수학적 표현으로 정리하자면

                

이것을 그래프로 표현하면 다음과 같다.

여기에서 x축은 시간이고, y축은 가속도의 크기이다. 보는것과 같이 일정하다. 가속도의 값은 임의의 어떤값이라도 가능하다.

중요한것은 그 정해진 가속도의 값이 변화하지 않는다는것이다.

 

<그래프를 마음대로 그릴수있는 툴을 잘 모릅니다. 아시는 분은 가르쳐 주세요^^>

 

 

3. 등가속도 운동의 속도와 위치

 

미적분의 포스팅은 안했지만 결론적으로 말하면 속도(v), 가속도(a), 위치(s)간에는 가음과 같은 관계가 존재한다.

 

                   적분                적분

        

                   미분                미분

 

따라서 가속도가(초기속도, 초기위치를 포함) 주어지면 우리는 수학적 변환을 통해 특정시간에서 그 물체의 속도와 위치를 정확하게 알 수 있다.

 

등가속도 운동에서 주어진것은 바로 가속도 이다. 거기에 더하여 초기속도와 위치가 주어졌다면 이젠 수학놀이만 하면 된다.

 

속도는 다음과 같이 구한다.

가속도는 이렇게 구한다.

결론적으로

 

위와 같은 결과가 도출된다. 우리는 이미 초기속도, 위치, 가속도의 값을 알고 있으므로 시간만 주어진다면 위의 식을 이용해서 특정시간의 위치와 속도를 알아낼 수가 있는것이다.

 

그런데 잘 보면 위 식들은 각각 시간 t에 대한 상수함수, 1차함수, 2차함수가 된다.

이것은 미분과 적분이 각각 미/적분변수의 차원을 감소 증가시키는 관계에 기인하는데 이것들을 간단하게 그래프로 나타내면 다음과 같을것이다.

 

 

여기서 속도함수를 눈여겨보자. 속도를 적분하면 위치가 된다. 적분의 정의에 따라서 속도곡선(여기선 직선)아래의 면적은 위치값이 나온다. 이것을 그대로 기하학적인 해석을 해보자.

 

기하학적으로 해석해봐도 위 식이 정확히 들어맞는것을 알 수 있다.

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이것으로 등가속도운동에 대한 기본적인 원리를 알아봤습니다.

다음 포스팅에서는 위 식을 갖고 중력장내에서 자유낙하운동과 직상방 투사체 운동 등의 1차원 운동을 다뤄보겠습니다.

 

이것으로 시골공돌이 첫포스팅을 마칩니다.~^^

 

 

첫 블로깅이라 이거 쓰는데에만도 시간이 두시간정도 걸렸네요.

언제든지 질문과 오류 지적 해주시면 감사한마음으로 받겠습니다.