등가속도 운동의 수학적 원리와 활용(2)

지난 포스트에서 등가속도 운동의 간단한 수학식에 대해서 알아봤습니다.

이번포스트에서는 등가속도 운동의 가장 대표적인 자유낙하운동과

직상방 투사운동의 수학적인 해석에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

 

지난 포스트는 아래에서~

2017/12/26 - [물리] - 등가속도 운동의 수학적 원리와 활용(1)

---

0. 지난시간의 복습

 

등가속도운동에서 위치, 속도, 가속도의 관계는 아래와 같은 관계가 있고,

 

                   적분                적분

        

                   미분                미분

 

이것을 시간에 대한 함수로 표시하면 다음과 같다고 하였습니다.

이것을 통해서 대표적인 1차원(직선) 등가속도 운동인 자유낙하운동과 직상방 투사체운동에 대해서 알아보겠습니다.

 

 

 

1. 자유낙하운동

 

일단 자유낙하 운동을 설명하기전에 위의 공식을 우리가 사용하기 편리하게 조금 조작을 해보겠습니다.

 

의 공식을 t에 대해서 정리해보면 다음과 같습니다.

 

이고, 이 식을 위치공식인

 

의 t에 대입하면 다음과 같이 정리됩니다.

 

 

<이것은 직접 한번 해보세요~^^>

 

 

위에 번호가 기입된 3개의 공식이 1차원 등가속도 운동의 기본 공식이 됩니다.

 

그림과 같은 상황을 가정해 봅시다.

 

그림과 같은 상황에서 질량이 m인 물체는 현재 정지되어있는 상태이므로

초기속도 Vo=0 입니다.

가속도 a는 지구의 중력가속도 g=9.8m/s^2 입니다.

움직이는 총거리 S=h가 되겠네요.

 

(원래 해석에서는 위로 올라가는 방향이 (+)방향이므로

중력가속도는 (-)의 값을 가져야하지만 여기에서는

위로 올라갈 일이 없기때문에 편의상

그냥 아래로 향하는 성분을 (+)로 가정하였습니다.)

 

이러한 가정하에서 위 1, 2, 3공식을 다시 정리하면 다음과 같습니다.

<원래는 벡터로 표현해야 하지만 그냥 썼습니다.ㅡ.ㅡ;;>

 

 

자 이제 이 공식들을 활용해서 여러가지를 구해봅시다.

 

 

먼저 지표면까지 도달시간을 구해봅시다.

 

두번째 공식을 t에 대하여 정리하면 다음과 같네요

 

 

 

둘째, 지표면에 도달할때의 속도는 어떻게 구할까요

 

세번째공식을 v에 대해서 정리하면

 

입니다.

 

 

여기서 우리가 알수 있는것은 떨어지는 속도나 시간은 "질량"에 영향을 받지 않는다는 것입니다.!!!

 

갈릴레오는 사고 실험을 통해 이것을 알아내었는데요 실제로 이렇게 수학적으로도 명확하게 증명이 되는 내용입니다.

물론 무게가 더 무거우면 떨어질때 지상에 가해지는 충격량은 질량이 클수록 더 크겠죠.

하지만 적어도 떨어지는 속도나 시간은 질량과 무관한 독립된 것임을 우리는 수식을 통해 알 수 있습니다.

 

그럼 이여세를 몰아 직상방 투사체에 대한 해석을 해봅시다.

 

 

2. 직상방 투사체에 대한 수학적 해석

 

직상방 투사체란 지면에서 위로 어떤 물체를 던져올린것을 말합니다.

여기서는 계산의 편의성을 위해서 지표면에서 던진것을 가정하도록 하겠습니다.

 

 

이런 모양의 운동이 되는데요~

 

아주 친절하게도 필요한 공식들이 다 쓰여있네요~^^

 

여기서부터는 중력가속도 a(=g)가 음수(-)로 표현이 됩니다.

던져진 방향(윗쪽)이 양의(+)방향이기 때문에

밑으로 향하는 가속도는 음으로 표현이 되는것이죠~

따라서 가속도는 -g,

초기속도는 Vo로 주어질 것이구요~

최고점의 높이는 h라고 합시다.

 

 

그렇다면 쩌기위에 있는 공식은 아래와 같이 다시 쓰여지겠군요~

 

여기서 의문이 생길수 있습니다. 지표면에서 던져져서 최고점(h)을 찍고 다시내려왔다면 움직인 총 거리는 2h가 되어야 맞는것 아닌가 생각 할 수 있습니다.

물론 실제적으로 움직인 거리는 2h가 되는것이 맞습니다.

하지만 물리의 관점에서 바라본다면 다시처음의 위치로 돌아온것이기에 움직인 거리는 0이됩니다.

따라서 저기의 h라는것의 의미는 가장멀리간 위치(최고점)를 의미하게된다는것을 주의하세요~

 

그럼 공식을 이용해서 몇가지를 알아보죠~

 

먼저 최고점(h)에 도달하는 시간을 알아봅시다.

최고점에서 투사체의 속도는 0이 됩니다. 위 첫번째 공식에서 V를 0으로 놓고 t에 대하여 정리하면

가 나오네요~^^

직관적으로 생각해보아도 얼마나 빠르게(세게)던지느냐에 따라서 최고 높이가 결정되겠죠???

 

 

두번째, 최고점의 높이도 알수 있겠죠?

최고점은 h입니다. 세번째식에서 V=0인경우이니까 h에 대하여 정리하면

이 됩니다.

 

 

세번째, 떨어질때의 속도는 어떻게 구해질까요?

역시 세번째 공식에서 h=0인경우이므로

입니다.

답이 두개가 나오네요~ 왜냐하면 h가 0인 경우가 던지는 순간과 땅에 떨어지는 순간 두번이 있기때문입니다.

던져지는게 초기속도 Vo이기 때문에 +Vo는 바로 던져지는 순간의 속도입니다. 떨어질때의 속도는 방향이 반대이므로 -Vo가 됩니다.

여기서 우리는 던진속도 그대로 땅에 떨어진다는것을 알 수 있겠군요~

 

 

네번째, 지면에 도달하는 시간을 구해봅시다.

두번째 공식에서 h=0인 상황이기 때문에 두번째식은 t에 대한 이차방정식이되고 t로 묶는 인수분해를 하면 다음과 같습니다.

따라서 위 식의 근은

여기서 뒤의 t는 첫번째로 구한 최고점 도달시간 t 입니다. 헷갈리지 마세요~

결국 땅에 떨어지는 시간은 최고점까지 올라간 시간의 딱 두배가 된다는 결론이 나왔습니다.

 

이런 직상방 투사체 운동의 가속도, 속도, 위치 그래프를 그려보면 다음과 같습니다.  

 

 

아랫방향으로 가속도가 주어지니 a는 음의 값을 갖는것이구요 속도는 점점 줄어들다 마이너스로~

위치역시 다시 제자리로 돌아오는 그래프를 그리고 있네요~

---

휴우~~ 이렇게 등가속도 운동 두번째를 마칩니다.

사실 대부분의 중력장내에서의 운동은 위의 운동을 기본으로 합니다. 그래서 이차함수, 이차방정식이 중요하죠^^

그럼 다음엔 등가속도운동 마지막인 비스듬한 투사체(2차원) 운동에 대해 포스팅하겠습니다.~^^

 

 

많은 오류수정과 의견 부탁드릴께요~^^