운동량 보존의 법칙

 

이번 포스트는 지난 뉴턴의 운동법칙중 제2법칙인 힘의 법칙에서 나온 운동량 보존입니다.

2018/01/15 - [자연과학] - 뉴턴의 법칙(Newton's Laws)

 

흔히 위의 탄성체 충돌 실험이나 당구공 실험으로 많이 설명되는 운동량 보존의 법칙입니다. 산수를 시작해보죠~^^

 

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일단은 뉴턴의 제2법칙부터 소환합니다. 지난포스팅에서 아래와 같이 썼죠.

여기서 P가 운동량이라는 물리량이라고 설명했습니다. 결국 힘이란것은 운동량을 변화시키는 원천이되고, 어떤 운동에 있어서 중간에 힘이 작용하지 않으면 운동 전후의 운동량은 정확히 보존된다는 결론이 가능해지고 이것을 운동량 보존의 법칙이라고 합니다.

 

위의 식은 다양한 형태로 변형과 해석이 가능한데요. 운동량 보존은 F=0 일때의 운동형태인데요 수학적으로 표현하면

 

그럼 예를 들어서 운동량 보존의 법칙을 설명해보죠.

가장 많이 사용되는 예시인 당구공의 충돌 실험입니다. 원래는 1차원 운동 먼저하고 이렇게 2차원으로 넘어가야 하는데 1차원 운동은 너무나 간단해서 바로 2차원 운동으로 넘어갑니다. 1차원 운동은 그냥 사진만 하나 넣어 보겠습니다.

 

 

그리고 아래 이것이 당구공의 2차원 운동량 보존법칙 실험입니다.

 

정지되어있는 무게 2kg의 당구공 B를 향하여 1kg의 당구공 A를 5m/s의 속도로 충돌해서 각각 위 아래로 퍼져 나가는 그런 운동을 상정해 봅시다.

 

여기서 초기 운동량은 A공이 움직이는것 하나입니다. 나중의 운동량은 A, B 각각의 공이 Va, Vb의 속도로 움직이는 것 두개이죠.

실제 계산을 해보기 전에 문자식으로 한번 생각을 해봅시다.

 

초기 A의 질량을 Ma, 속도를 Vo 라고 하고, 말기 A의 속도를 Va, B의 질량과 속도를 각각 Mb, Vb라고 한다면 아래와 같이 표시가 가능합니다.

초기 운동량은 위와 같이 표시가 되겠지요.

 

말기 운동량은 두 물체 A, B를 함께 생각해야하는데요. 최초의 운동은 X방향만 생각해야하는것에 비해서 Y축까지 생각을 해야합니다.

이때 A가 움직이는 방향과 X축과의 각을 세타1이라고 하고, B가 움직이는 방향과 X축과의 각을 세타2라고 한다면 A와 B의 각각의 방향에 대한 운동량을 한번 표시해 보자면

앞쪽에 나온 것은 A물체의 X, Y축 운동량을 의미하구요, 뒤는 B물체의 X, Y축 운동량 입니다.

 

각각의 방향에 따른 운동량이 보존되어야 하는데 그것을 표현하면 아래와 같아지지요.

 

그럼 한번 위의 그림을 생각해 봅시다. Ma=1kg   Mb=2kg이rh 속도 Vo=5m/s 입니다. A공이 충돌이후의 운동량은 X축의 방향으론 3*1=3 Y축의 방향으론 2*1=2이죠.

 

따라서 Va와 각각 성분을 계산해보면

 

그러면 이것을 기준으로 B물체의 운동을 계산해 봅시다.

 

B물체는 따라서 X축방향으로는 1만큼, Y축 방향으로역시 1만큼의 속도 성분으로 움직일 것이고, Y축 방향은 A물체의 방향과는 반대방향으로 갈 것입니다.

그렇다면 당연히 각도 세타2는 45도가 되겠네요~ X, Y 성분의 크기가 같기때문이고 합성 속도 Vb는 루트2가 될것입니다.

 

그러면 생각해 봅시다. 최초의 운동량은 확인했다시피 5 입니다. (운동량의 단위는 kg·m/s 입니다.)

 

나중의 운동량을 그냥 생각해 보면 A는 VaMa = 루트14, B는 VbMb = 2루트2, 더하면 루트14 + 2루트2=6.57정도가 나옵니다.?????

 

왜 운동량이 본존이 안되는걸까요??? 이것은 운동량이라는 양은 벡터로서 각각의 축에 대해서만 생각해야하기때문입니다.

최초의 운동량은 X축에 대해서만 있었습니다. 나중 운동량의 X방향만 생각하면 2*1 + 1*3 = 5로 정확하게 같습니다.

Y축의 경우에는 상하오 상호 반대로 움직이기때문에 상호 운동량이 상쇄 되어서 0이 됩니다. 그래서 알짜 운동량은 0가 되고 초기운동량과 최후의 운동량은 같은 것으로 보면 되는것이죠.

 

운동량의 보존은 여러가지의 운동현상을 재미있게 계산해 볼수 있는 기회를 제공합니다. 예를 들면 타이슨의 주먹을 내가 맞으면 얼마의 속도로 뒤로 날아갈까 뭐 이런것들 말입니다. ^^

 

이것으로 간단하게 운동량 보존이 법칙에 대해서 알아봤습니다.

다음엔 운동량 보존법칙에서 발전해 나간 SHO(단순조화진동자)의 해석에 대해서 한번 해보겠습니다. 이게 좀 복잡할것 같습니다.

 

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여러 전문가의 의견과 질문, 첨언 환영합니다.^^

 

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